実数 $a$ に対して、$f(x) = x^2 - 2(3a^2 + 5a)x + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$ とおく。$a$ が実数全体を動くとき、2次関数 $y = f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標の最小値を求める。また、会話文の空欄を埋め、与えられた関数の頂点の$y$座標の最小値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$f(x) = x^2 - 2(3a^2 + 5a)x + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$ とおく。$a$ が実数全体を動くとき、2次関数 $y = f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標の最小値を求める。また、会話文の空欄を埋め、与えられた関数の頂点の$y$座標の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$y = f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2(3a^2 + 5a)x + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$

$f(x) = (x - (3a^2 + 5a))^2 - (3a^2 + 5a)^2 + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$

$f(x) = (x - (3a^2 + 5a))^2 - (9a^4 + 30a^3 + 25a^2) + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$

$f(x) = (x - (3a^2 + 5a))^2 + 9a^4 + 24a^2 + 16$

したがって、頂点の座標は $(3a^2 + 5a, 9a^4 + 24a^2 + 16)$ である。

よって、ア=3, イ=5, ウ=9, エオ=24, カキ=16。

次に、$t = a^2$ とおくと、頂点の $y$ 座標は $9t^2 + 24t + 16$ となる。

したがって、ク=9。

(2) $g(t) = 9t^2 + 24t + 16$ について考える。

$g(t) = 9(t^2 + \frac{8}{3}t) + 16$

$g(t) = 9(t + \frac{4}{3})^2 - 9(\frac{16}{9}) + 16$

$g(t) = 9(t + \frac{4}{3})^2$

$t = a^2 \ge 0$ なので、$t = 0$ のとき最小値 $g(0) = 16$ をとる。

このとき、$a^2 = 0$ より、$a = 0$。

太郎さんの下線部(A)の発言は誤りであり、正しい最小値は16であり、そのときの $a$ の値は0である。

クケ = 16, コ = 0。

(3) (i) 関数① $y = -x^2 + 2a^2x - 4a^2 + 8$ について

$y = -(x^2 - 2a^2x) - 4a^2 + 8$

$y = -(x - a^2)^2 + a^4 - 4a^2 + 8$

$t = a^2$ とおくと、$y = -(x - t)^2 + t^2 - 4t + 8$

頂点の$y$座標は $t^2 - 4t + 8$ なので条件を満たす。

関数② $y = 2x^2 + 8ax + 5a^4 + 2a + 4$について

$y = 2(x^2 + 4ax) + 5a^4 + 2a + 4$

$y = 2(x + 2a)^2 - 8a^2 + 5a^4 + 2a + 4$

頂点の$y$座標は $5a^4 - 8a^2 + 2a + 4$となり$t=a^2$ と置いても$t$の式で表せない

関数③ $y = x^2 - 2a^2x - a^4 - a^2 - 3$について

$y = (x - a^2)^2 - a^4 - a^4 - a^2 - 3$

$y = (x - a^2)^2 - 2a^4 - a^2 - 3$

頂点の$y$座標は $-2a^4 - a^2 - 3$となり$t=a^2$ と置くと $-2t^2 - t - 3$と$t$の式で表せる

したがって、サ=0

(ii) $h(t) = t^2 - 4t + 8$ について

$h(t) = (t - 2)^2 - 4 + 8 = (t - 2)^2 + 4$

$t = a^2 \ge 0$ なので、$t = 2$ のとき最小値 $h(2) = 4$ をとる。

したがって、シ=4。

3. 最終的な答え

(1) ア=3, イ=5, ウ=9, エオ=24, カキ=16

(2) クケ=16, コ=0

(3) サ=0, シ=4