与えられた二次関数 $y = 2x^2 - 3x + 4$ の、定義域 $-1 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = 2x^2 - 3x + 4$ の、定義域 $-1 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 3x + 4 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 4 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) + 4 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2(\frac{9}{16}) + 4 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + \frac{32}{8} = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8}$.

よって、この二次関数の頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{23}{8})$ です。

次に、定義域 $-1 \leq x \leq 2$ の範囲で、頂点の $x$ 座標 $\frac{3}{4}$ が含まれているかを確認します。$\frac{3}{4}$ は $-1 \leq x \leq 2$ に含まれています。

頂点における $y$ の値は $y = \frac{23}{8}$ であり、これは最小値の候補です。

定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^2 - 3(-1) + 4 = 2 + 3 + 4 = 9$.

$x = 2$ のとき、$y = 2(2)^2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6$.

したがって、$x = -1$ のとき $y = 9$、$x = 2$ のとき $y = 6$ です。

最小値は、頂点における $y$ の値 $\frac{23}{8}$ と、定義域の端点における $y$ の値 $9$ および $6$ を比較して決定します。$\frac{23}{8} = 2.875$ であるため、最小値は $\frac{23}{8}$ です。

最大値は、定義域の端点における $y$ の値 $9$ と $6$ を比較して決定します。最大値は $9$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 9 ($x = -1$ のとき)

最小値: $\frac{23}{8}$ ($x = \frac{3}{4}$ のとき)