(1) 指数不等式 $(\frac{1}{2})^{2x+1} > (\frac{1}{4})^{3x+2}$ を解く。 (2) 対数の値を求める。$\log_4 64$ (3) 対数の式を簡単にする。$\log_3 4 + 2\log_3 \frac{\sqrt{27}}{2}$ (4) 対数の式を簡単にする。$\log_5 \frac{25}{4} - \log_5 \frac{1}{4}$

1. 問題の内容

(1) 指数不等式 $(\frac{1}{2})^{2x+1} > (\frac{1}{4})^{3x+2}$ を解く。

(2) 対数の値を求める。$\log_4 64$

(3) 対数の式を簡単にする。$\log_3 4 + 2\log_3 \frac{\sqrt{27}}{2}$

(4) 対数の式を簡単にする。$\log_5 \frac{25}{4} - \log_5 \frac{1}{4}$

2. 解き方の手順

(1) 指数不等式を解く。

底を $\frac{1}{2}$ に揃える。

$(\frac{1}{2})^{2x+1} > (\frac{1}{2}^2)^{3x+2}$

$(\frac{1}{2})^{2x+1} > (\frac{1}{2})^{6x+4}$

底が1より小さいので、指数の大小関係は逆になる。

$2x+1 < 6x+4$

$-4x < 3$

$x > -\frac{3}{4}$

(2) 対数の値を求める。

$\log_4 64 = x$ とすると、$4^x = 64$

$4^x = 4^3$ より、$x = 3$

(3) 対数の式を簡単にする。

$\log_3 4 + 2\log_3 \frac{\sqrt{27}}{2} = \log_3 4 + \log_3 (\frac{\sqrt{27}}{2})^2 = \log_3 4 + \log_3 \frac{27}{4} = \log_3 (4 \cdot \frac{27}{4}) = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$

(4) 対数の式を簡単にする。

$\log_5 \frac{25}{4} - \log_5 \frac{1}{4} = \log_5 (\frac{25}{4} \div \frac{1}{4}) = \log_5 (\frac{25}{4} \cdot \frac{4}{1}) = \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x > -\frac{3}{4}$

(2) $3$

(3) $3$

(4) $2$