(1) $2\log_4 40 + \log_2 2\sqrt{5} - \log_2 4\sqrt{5} = \Box + \log_2 5$ の $\Box$ を求める問題。 (2) $\log_2 (2x-1) + \log_2 (x-1) = 2\log_4 3$ を満たす $x$ を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $2\log_4 40 + \log_2 2\sqrt{5} - \log_2 4\sqrt{5} = \Box + \log_2 5$ の $\Box$ を求める問題。

(2) $\log_2 (2x-1) + \log_2 (x-1) = 2\log_4 3$ を満たす $x$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\log_4 40$ を $\log_2$ で表す。底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_4 40 = \frac{\log_2 40}{\log_2 4} = \frac{\log_2 40}{2}$ となる。

よって、

$2\log_4 40 = 2 \cdot \frac{\log_2 40}{2} = \log_2 40$ となる。

次に、与式を $\log_2$ でまとめると、

$2\log_4 40 + \log_2 2\sqrt{5} - \log_2 4\sqrt{5} = \log_2 40 + \log_2 2\sqrt{5} - \log_2 4\sqrt{5}$

$= \log_2 \frac{40 \cdot 2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = \log_2 \frac{80\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = \log_2 20$

$\log_2 20 = \log_2 (4 \cdot 5) = \log_2 4 + \log_2 5 = 2 + \log_2 5$

与式$=2 + \log_2 5 = \Box + \log_2 5$ なので $\Box = 2$

(2)

$\log_2 (2x-1) + \log_2 (x-1) = 2\log_4 3$

$\log_2 (2x-1) + \log_2 (x-1) = \log_2 ((2x-1)(x-1))$

$\log_2 ((2x-1)(x-1)) = 2\log_4 3$

$2\log_4 3 = 2 \cdot \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = 2 \cdot \frac{\log_2 3}{2} = \log_2 3$

したがって、$\log_2 ((2x-1)(x-1)) = \log_2 3$

$(2x-1)(x-1) = 3$

$2x^2 - 3x + 1 = 3$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

$(2x+1)(x-2) = 0$

$x = -\frac{1}{2}$ または $x = 2$

真数条件より、$2x-1>0$ かつ $x-1>0$ である必要がある。

$x > \frac{1}{2}$ かつ $x > 1$ より、$x > 1$ である必要がある。

したがって、$x = -\frac{1}{2}$ は不適であり、$x = 2$ が解である。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2