多項式 $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7$ を、以下の一次式で割ったときの余りをそれぞれ求めます。 (1) $x-2$ (2) $x+1$ (3) $x+2$

## 問題2

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7$ を、以下の一次式で割ったときの余りをそれぞれ求めます。

(1) $x-2$

(2) $x+1$

(3) $x+2$

2. 解き方の手順

剰余の定理より、多項式 $P(x)$ を一次式 $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ で与えられます。

(1) $x-2$ で割った余り：

$P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 7 = 2(8) - 5(4) + 7 = 16 - 20 + 7 = 3$

(2) $x+1$ で割った余り：

$P(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 7 = 2(-1) - 5(1) + 7 = -2 - 5 + 7 = 0$

(3) $x+2$ で割った余り：

$P(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2)^2 + 7 = 2(-8) - 5(4) + 7 = -16 - 20 + 7 = -29$

3. 最終的な答え

(1) $x-2$ で割った余り：3

(2) $x+1$ で割った余り：0

(3) $x+2$ で割った余り：-29

## 問題3

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ に対して、以下の式が因数である場合は「○」、因数でない場合は「×」を答えます。

(1) $x-1$

(2) $x-2$

(3) $x+1$

(4) $x+2$

2. 解き方の手順

因数定理より、多項式 $P(x)$ が $x-a$ を因数に持つための必要十分条件は $P(a) = 0$ です。

(1) $x-1$ について：

$P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + (1) + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$

よって、$x-1$ は $P(x)$ の因数ではありません。

(2) $x-2$ について：

$P(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + (2) + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$

よって、$x-2$ は $P(x)$ の因数です。

(3) $x+1$ について：

$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$

よって、$x+1$ は $P(x)$ の因数です。

(4) $x+2$ について：

$P(-2) = (-2)^3 - 4(-2)^2 + (-2) + 6 = -8 - 16 - 2 + 6 = -20 \neq 0$

よって、$x+2$ は $P(x)$ の因数ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $x-1$: ×

(2) $x-2$: ○

(3) $x+1$: ○

(4) $x+2$: ×