(1) 不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(3-4x) > 2$ を解く。 (2) $12^{40}$ の桁数を求める。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(3-4x) > 2$ を解く。

(2) $12^{40}$ の桁数を求める。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、真数条件より $3 - 4x > 0$ であるから、

$4x < 3$

$x < \frac{3}{4}$

次に、$\log_{\frac{1}{2}}(3-4x) > 2$ を変形する。底が$\frac{1}{2}$なので、対数を外すとき不等号の向きが変わることに注意する。

$3 - 4x < (\frac{1}{2})^2$

$3 - 4x < \frac{1}{4}$

$-4x < \frac{1}{4} - 3$

$-4x < -\frac{11}{4}$

$4x > \frac{11}{4}$

$x > \frac{11}{16}$

したがって、$x < \frac{3}{4}$ と $x > \frac{11}{16}$ を満たす $x$ の範囲は、

$\frac{11}{16} < x < \frac{3}{4}$

$\frac{11}{16}$ と $\frac{3}{4}$ はそれぞれ小数で表すと、$0.6875$ と $0.75$ なので、

$\frac{11}{16} < x < \frac{12}{16}$ である.

(2)

$12^{40}$ の桁数を求めるために、常用対数をとる。

$\log_{10}(12^{40}) = 40 \log_{10}(12)$

$= 40 \log_{10}(2^2 \cdot 3)$

$= 40 (\log_{10}(2^2) + \log_{10}(3))$

$= 40 (2\log_{10}(2) + \log_{10}(3))$

$= 40 (2(0.3010) + 0.4771)$

$= 40 (0.6020 + 0.4771)$

$= 40 (1.0791)$

$= 43.164$

$\log_{10}(12^{40}) = 43.164$ より、

$12^{40} = 10^{43.164}$

$12^{40} = 10^{43} \times 10^{0.164}$

$10^{0.164}$ は 1 より大きいので、$12^{40}$ は44桁の数である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{11}{16} < x < \frac{3}{4}$

(2) 44桁