与えられた8つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

各式について、以下の手順で因数分解を行います。

(1) $(x+1)^2 - 2(x+1) - 15$

$A = x+1$ と置くと、$A^2 - 2A - 15$ となります。

これは $(A-5)(A+3)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(x+1-5)(x+1+3) = (x-4)(x+4)$ となります。

よって、$(x-4)(x+4) = x^2 - 16$

(2) $(x-5)^2 - 7(x-5) + 12$

$A = x-5$ と置くと、$A^2 - 7A + 12$ となります。

これは $(A-3)(A-4)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(x-5-3)(x-5-4) = (x-8)(x-9)$ となります。

(3) $x(x+7) - 8$

展開すると $x^2 + 7x - 8$ となります。

これは $(x+8)(x-1)$ と因数分解できます。

(4) $(x-6)(x+3) - 4x$

展開すると $x^2 - 3x - 18 - 4x = x^2 - 7x - 18$ となります。

これは $(x+2)(x-9)$ と因数分解できます。

(5) $x^2y - 5xy - 6y$

$y$ でくくると $y(x^2 - 5x - 6)$ となります。

これは $y(x-6)(x+1)$ と因数分解できます。

(6) $(x-2)^2 - 16$

展開すると $x^2 - 4x + 4 - 16 = x^2 - 4x - 12$ となります。

これは $(x-6)(x+2)$ と因数分解できます。

(7) $(x-2)^2 + 3x - 6$

展開すると $x^2 - 4x + 4 + 3x - 6 = x^2 - x - 2$ となります。

これは $(x-2)(x+1)$ と因数分解できます。

(8) $x^2 - 6xy + 9y^2 + 3x - 9y + 2$

$x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$ より、与式は

$(x - 3y)^2 + 3(x - 3y) + 2$ と変形できます。

$A = x - 3y$ と置くと、$A^2 + 3A + 2$ となります。

これは $(A+1)(A+2)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(x-3y+1)(x-3y+2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-4)(x+4)$

(2) $(x-8)(x-9)$

(3) $(x+8)(x-1)$

(4) $(x+2)(x-9)$

(5) $y(x-6)(x+1)$

(6) $(x-6)(x+2)$

(7) $(x-2)(x+1)$

(8) $(x-3y+1)(x-3y+2)$