次の不等式を解きます。 $\log_{\frac{1}{8}} x > \frac{1}{3}$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$\log_{\frac{1}{8}} x > \frac{1}{3}$

2. 解き方の手順

まず、真数条件より、$x>0$です。

次に、$\frac{1}{8} = 2^{-3}$なので、$\log_{\frac{1}{8}} x > \frac{1}{3}$は、

$\log_{2^{-3}} x > \frac{1}{3}$

と書き換えられます。

底の変換公式より、$\log_{2^{-3}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^{-3}} = \frac{\log_2 x}{-3}$なので、

$\frac{\log_2 x}{-3} > \frac{1}{3}$

両辺に-3をかけると不等号の向きが変わるので、

$\log_2 x < -1$

これは、

$\log_2 x < \log_2 2^{-1}$

となります。

底が2で1より大きいので、

$x < 2^{-1} = \frac{1}{2}$

真数条件$x>0$と合わせて、

$0 < x < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$0 < x < \frac{1}{2}$