$a, b$ が有理数であるとき、$(\sqrt{5}a - \sqrt{3})^2 = 23 + \sqrt{15}b$ を満たす $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ が有理数であるとき、$(\sqrt{5}a - \sqrt{3})^2 = 23 + \sqrt{15}b$ を満たす $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $(\sqrt{5}a - \sqrt{3})^2 = 23 + \sqrt{15}b$ の左辺を展開します。

$(\sqrt{5}a - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5}a)^2 - 2(\sqrt{5}a)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2$

$= 5a^2 - 2\sqrt{15}a + 3$

この式を整理すると、

$5a^2 + 3 - 2\sqrt{15}a = 23 + \sqrt{15}b$

次に、有理数部分と無理数部分を比較するために、式を変形します。

$5a^2 + 3 - 23 = \sqrt{15}b + 2\sqrt{15}a$

$5a^2 - 20 = \sqrt{15}(b + 2a)$

ここで、$a, b$ は有理数なので、$5a^2 - 20$ は有理数、$b + 2a$ も有理数です。

両辺を比較すると、

$5a^2 - 20 = 0$

$b + 2a = 0$

まず、$5a^2 - 20 = 0$ を解きます。

$5a^2 = 20$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

次に、$b + 2a = 0$ を解きます。

$b = -2a$

$a = 2$ のとき、$b = -2(2) = -4$

$a = -2$ のとき、$b = -2(-2) = 4$

3. 最終的な答え

したがって、$a = 2, b = -4$ または $a = -2, b = 4$ です。

$a = 2, b = -4$ のとき: $(\sqrt{5}(2) - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 4(5) - 4\sqrt{15} + 3 = 23 - 4\sqrt{15} = 23 + \sqrt{15}(-4)$

$a = -2, b = 4$ のとき: $(\sqrt{5}(-2) - \sqrt{3})^2 = (-2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 4(5) + 4\sqrt{15} + 3 = 23 + 4\sqrt{15} = 23 + \sqrt{15}(4)$

答え:

$a=2, b=-4$ または $a=-2, b=4$