$a, b$ が有理数であるとき、$(\sqrt{5}a - \sqrt{3})^2 = 23 + \sqrt{15}b$ を満たす $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ が有理数であるとき、$(\sqrt{5}a - \sqrt{3})^2 = 23 + \sqrt{15}b$ を満たす $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{5}a - \sqrt{3})^2$ を展開します。

$(\sqrt{5}a - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5}a)^2 - 2(\sqrt{5}a)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 5a^2 - 2\sqrt{15}a + 3$

したがって、

$5a^2 - 2\sqrt{15}a + 3 = 23 + \sqrt{15}b$

整理すると、

$5a^2 + 3 - 23 = \sqrt{15}b + 2\sqrt{15}a$

$5a^2 - 20 = \sqrt{15}(b + 2a)$

左辺は有理数であり、右辺は $\sqrt{15}$ が含まれているため、右辺が有理数になるためには $\sqrt{15}$ の係数が0でなければなりません。

したがって、$b + 2a = 0$ となります。

このとき、$b = -2a$ となります。

すると、$5a^2 - 20 = 0$ となるため、

$5a^2 = 20$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$a = 2$ のとき、$b = -2(2) = -4$

$a = -2$ のとき、$b = -2(-2) = 4$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -4$ または $a = -2, b = 4$