2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。 (2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求めます。 (3) $0 \leqq x \leqq 2$ における関数 $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とするとき、$m(a)$ を $a$ を用いて表します。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ について、以下の問いに答えます。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求めます。

(3) $0 \leqq x \leqq 2$ における関数 $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とするとき、$m(a)$ を $a$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 1$

したがって、頂点の座標は $(a, -a^2 + 1)$ となります。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - 3 = (x + 2)^2 - 2a(x + 2) + 1$

$y = (x + 2)^2 - 2a(x + 2) + 4$

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 = (0 + 2)^2 - 2a(0 + 2) + 4$

$0 = 4 - 4a + 4$

$4a = 8$

$a = 2$

(3) $f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 1$ において、$0 \leqq x \leqq 2$ における最小値を $m(a)$ とします。

軸 $x = a$ の位置によって場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \leqq x \leqq 2$ で $f(x)$ は単調減少なので、$x = 2$ で最小値をとります。

$m(a) = f(2) = 2^2 - 2a(2) + 1 = 4 - 4a + 1 = 5 - 4a$

(ii) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき、$x = a$ で最小値をとります。

$m(a) = f(a) = -a^2 + 1$

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \leqq x \leqq 2$ で $f(x)$ は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$m(a) = f(0) = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$

以上より、

$m(a) = \begin{cases} 5 - 4a & (a < 0) \\ -a^2 + 1 & (0 \leqq a \leqq 2) \\ 1 & (a > 2) \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) $(a, -a^2 + 1)$

(2) $a = 2$

(3)

$m(a) = \begin{cases} 5 - 4a & (a < 0) \\ -a^2 + 1 & (0 \leqq a \leqq 2) \\ 1 & (a > 2) \end{cases}$