(1) $a$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^2 + 4ax + 8a^2 - 20a + 25 = 0$ が実数解をもつときの $a$ の値と、その時の解 $x$ を求める。 (2) $k > 0$ とする。2次方程式 $x^2 + kx - (k-1) = 0$ が異なる2つの実数解をもつときの $k$ の値の範囲を求める。また、この方程式の1つの解が $-3$ であるときの $k$ の値と、もう1つの解を求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

(1) $a$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^2 + 4ax + 8a^2 - 20a + 25 = 0$ が実数解をもつときの $a$ の値と、その時の解 $x$ を求める。

(2) $k > 0$ とする。2次方程式 $x^2 + kx - (k-1) = 0$ が異なる2つの実数解をもつときの $k$ の値の範囲を求める。また、この方程式の1つの解が $-3$ であるときの $k$ の値と、もう1つの解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式が実数解をもつためには、判別式 $D \geq 0$ である必要がある。

$D = (4a)^2 - 4(8a^2 - 20a + 25)$

$= 16a^2 - 32a^2 + 80a - 100$

$= -16a^2 + 80a - 100 \geq 0$

$-16a^2 + 80a - 100 = 0$ を解く。両辺を $-4$ で割ると

$4a^2 - 20a + 25 = 0$

$(2a - 5)^2 = 0$

$a = \frac{5}{2}$

よって、$a = \frac{5}{2}$ のとき、判別式 $D = 0$ となり、重解を持つ。

$x^2 + 4(\frac{5}{2})x + 8(\frac{5}{2})^2 - 20(\frac{5}{2}) + 25 = 0$

$x^2 + 10x + 8(\frac{25}{4}) - 50 + 25 = 0$

$x^2 + 10x + 50 - 50 + 25 = 0$

$x^2 + 10x + 25 = 0$

$(x+5)^2 = 0$

$x = -5$

(2)

2次方程式が異なる2つの実数解をもつためには、判別式 $D > 0$ である必要がある。

$D = k^2 - 4(-(k-1))$

$= k^2 + 4k - 4 > 0$

$k^2 + 4k - 4 = 0$ を解くと

$k = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$

$k > 0$ より、$k > -2 + 2\sqrt{2}$ である必要がある。$-2 + 2\sqrt{2} = -2 + 2 \cdot 1.414... = -2 + 2.828... = 0.828...$

つまり $k > -2 + 2\sqrt{2}$

$x = -3$ を方程式 $x^2 + kx - (k-1) = 0$ に代入すると

$(-3)^2 + k(-3) - (k-1) = 0$

$9 - 3k - k + 1 = 0$

$10 - 4k = 0$

$4k = 10$

$k = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

方程式は $x^2 + \frac{5}{2}x - (\frac{5}{2} - 1) = 0$

$x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} = 0$

$2x^2 + 5x - 3 = 0$

$(2x - 1)(x + 3) = 0$

$x = \frac{1}{2}, -3$

もう1つの解は $\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{5}{2}$, $x = -5$

(2) $k > -2 + 2\sqrt{2}$, $k = \frac{5}{2}$, もう1つの解は $\frac{1}{2}$