胎児の性別判定に関する問題で、以下の情報が与えられています。 * 男の子が生まれる場合に検査で男と判定される確率: $\frac{17}{20}$ * 女の子が生まれる場合に検査で女と判定される確率: $\frac{3}{4}$ * 生まれてくる子供の性別が男である確率と女である確率は等しい (つまりそれぞれ $\frac{1}{2}$) この情報をもとに、以下の問いに答えます。 (1) 女の子が生まれるときに、検査で誤って男と判定される確率を求めます。 (2) 検査結果が男である確率を求めます。 (3) 検査結果が男の場合と女の場合のどちらがより高い確率で正しいか判定します。

1. 問題の内容

胎児の性別判定に関する問題で、以下の情報が与えられています。

* 男の子が生まれる場合に検査で男と判定される確率: $\frac{17}{20}$

* 女の子が生まれる場合に検査で女と判定される確率: $\frac{3}{4}$

* 生まれてくる子供の性別が男である確率と女である確率は等しい (つまりそれぞれ $\frac{1}{2}$)

この情報をもとに、以下の問いに答えます。

(1) 女の子が生まれるときに、検査で誤って男と判定される確率を求めます。

(2) 検査結果が男である確率を求めます。

(3) 検査結果が男の場合と女の場合のどちらがより高い確率で正しいか判定します。

2. 解き方の手順

(1) 女の子が生まれるときに、検査で誤って男と判定される確率を求める。

女の子が生まれる場合に検査で女と判定される確率が $\frac{3}{4}$ なので、誤って男と判定される確率は $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ です。

(2) 検査結果が男である確率を求める。

生まれてくる子供が男の子である確率を $P(男) = \frac{1}{2}$、女の子である確率を $P(女) = \frac{1}{2}$ とします。

検査結果が男である確率を $P(検査結果が男)$ とすると、これは、男の子が生まれて検査で男と判定される確率と、女の子が生まれて検査で男と判定される確率の和で求められます。

* 男の子が生まれて検査で男と判定される確率: $P(男) \times \frac{17}{20} = \frac{1}{2} \times \frac{17}{20} = \frac{17}{40}$

* 女の子が生まれて検査で男と判定される確率: $P(女) \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} = \frac{5}{40}$

よって、検査結果が男である確率は、

$P(検査結果が男) = \frac{17}{40} + \frac{5}{40} = \frac{22}{40} = \frac{11}{20}$

(3) 検査結果が男の場合と女の場合のどちらがより高い確率で正しいか判定する。

検査結果が男であった場合に実際に男の子である確率 $P(男|検査結果が男)$、検査結果が女であった場合に実際に女の子である確率$P(女|検査結果が女)$を求め、比較します。

ベイズの定理より、

$P(男|検査結果が男) = \frac{P(検査結果が男|男)P(男)}{P(検査結果が男)}$

$P(女|検査結果が女) = \frac{P(検査結果が女|女)P(女)}{P(検査結果が女)}$

$P(男|検査結果が男) = \frac{\frac{17}{20} \times \frac{1}{2}}{\frac{11}{20}} = \frac{17/40}{11/20} = \frac{17}{40} \times \frac{20}{11} = \frac{17}{22}$

$P(女|検査結果が女) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}}{1 - \frac{11}{20}} = \frac{3/8}{9/20} = \frac{3}{8} \times \frac{20}{9} = \frac{5}{6}$

$\frac{17}{22} \approx 0.773$

$\frac{5}{6} \approx 0.833$

したがって、$P(女|検査結果が女) > P(男|検査結果が男)$ より、検査結果が女である場合の方がより高い確率で正しいです。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{11}{20}$

(3) 検査結果が女である場合