袋の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、計6枚入っている。A, Bの2人が袋の中から無作為にそれぞれ2枚ずつカードを取り出す。Aが先に2回取り出し、その後、Bが2回取り出す。ただし、AもBもカードを取り出した後は、袋にカードを戻さない。Aが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和を$X$とし、Bが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和を$Y$とする。 (1) $X = 4$である確率を求める。 (2) $X = Y$である確率、および$X \ge 2Y$である確率を求める。 (3) $X > Y$であるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、計6枚入っている。A, Bの2人が袋の中から無作為にそれぞれ2枚ずつカードを取り出す。Aが先に2回取り出し、その後、Bが2回取り出す。ただし、AもBもカードを取り出した後は、袋にカードを戻さない。Aが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和を$X$とし、Bが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和を$Y$とする。

(1) $X = 4$である確率を求める。

(2) $X = Y$である確率、および$X \ge 2Y$である確率を求める。

(3) $X > Y$であるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X = 4$となるのは、Aが(1, 3)または(2, 2)を取り出す場合である。

全事象は、6枚のカードから2枚を取り出す組み合わせなので、 ${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りである。

Aが(1, 3)を取り出す組み合わせは、$2 \times 2 = 4$通りである。

Aが(2, 2)を取り出す組み合わせは、${}_2 C_2 = 1$通りである。

したがって、$X = 4$となる組み合わせは$4 + 1 = 5$通りである。

求める確率は$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$である。

(2) まず、$X$と$Y$が取りうる値を考える。$X$と$Y$はそれぞれ$1+1=2$, $1+2=3$, $1+3=4$, $2+2=4$, $2+3=5$, $3+3=6$の値を取りうる。

$X = Y$となるのは、$X = Y = 2, 3, 4, 5, 6$となる場合である。

$X=2$となるのは、Aが(1,1)を取り出す場合。この確率は$\frac{{}_2 C_2}{{}_6 C_2} = \frac{1}{15}$。このとき、Bも(1,1)を取り出す必要があり、そのようなBの選び方は存在しないので確率は0。

$X=3$となるのは、Aが(1,2)を取り出す場合。この確率は$\frac{2 \times 2}{15} = \frac{4}{15}$。このとき、Bも(1,2)を取り出す必要があり、Bの選び方は$1 \times 1=1$通り。Bが(1,2)を取り出す確率は$\frac{1}{{}_4 C_2} = \frac{1}{6}$。求める確率は$\frac{4}{15} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{90}$.

$X=4$となるのは、Aが(1,3)または(2,2)を取り出す場合。確率は$\frac{2 \times 2 + 1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$。Bも(1,3)または(2,2)を取り出す必要がある。Aが(1,3)の場合、Bが(1,3)となるのは$1 \times 1$通り。Aが(2,2)の場合、Bが(2,2)となるのは存在しない。Bが(1,3)となる確率は$\frac{1}{{}_4 C_2} = \frac{1}{6}$。Aが(1,3)となる確率は$\frac{4}{15}$なので、$\frac{4}{15} \times \frac{1}{6}=\frac{4}{90}$. Aが(2,2)となる確率は$\frac{1}{15}$.このときBは(1,3),(1,2)のいずれかとなるので確率は0。$\frac{4}{90}$.

$X=5$となるのは、Aが(2,3)を取り出す場合。確率は$\frac{2 \times 2}{15} = \frac{4}{15}$。Bも(2,3)を取り出す必要があり、確率は$\frac{1}{{}_4 C_2} = \frac{1}{6}$。確率は$\frac{4}{15} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{90}$.

$X=6$となるのは、Aが(3,3)を取り出す場合。確率は$\frac{1}{15}$。Bも(3,3)を取り出す必要があり、存在しないので

0. $X = Y$となる確率は$\frac{4}{90} + \frac{4}{90} + \frac{4}{90} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.

次に、$X \ge 2Y$となる確率を求める。

$Y$の最小値は2なので、$2Y$の最小値は4。

$X=2$のとき、$Y=1$はありえないので0。

$X=3$のとき、$2Y \le 3$なので、$Y=1$しかありえないので0。

$X=4$のとき、$2Y \le 4$なので、$Y=2$。Aが4となる確率は$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$。Bが2となる確率は$\frac{1}{{}_4C_2} = \frac{1}{6}$なので$\frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$.

$X=5$のとき、$2Y \le 5$なので、$Y=2$のみ。

$X=6$のとき、$2Y \le 6$なので、$Y=2,3$

$X=4,Y=2$の場合、Aは(1,3)または(2,2)。Bは(1,1)。確率は$\frac{5}{15} * \frac{1}{6} = \frac{5}{90}$

$X=5,Y=2$の場合、Aは(2,3)。Bは(1,1)。確率は$\frac{4}{15} * \frac{1}{6} = \frac{4}{90}$

$X=6,Y=2$の場合、Aは(3,3)。Bは(1,1)。確率は$\frac{1}{15} * \frac{1}{6} = \frac{1}{90}$

$X=6,Y=3$の場合、Aは(3,3)。Bは(1,2)。確率は$\frac{1}{15} * \frac{1}{6} = \frac{1}{90}$

$X \ge 2Y$となる確率は$\frac{5+4+1+1}{90} = \frac{11}{90}$。

(3) $X > Y$のとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{2}{15}$, $\frac{11}{90}$

(3) (計算中)