袋の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、計6枚入っている。A, Bの2人が袋の中から無作為にそれぞれ2枚ずつカードを取り出す。Aが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をXとし、Bが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をYとする。 (1) X = 4である確率を求める。 (2) X = Yである確率と、X >= 2Yである確率を求める。 (3) X > Yであるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、計6枚入っている。A, Bの2人が袋の中から無作為にそれぞれ2枚ずつカードを取り出す。Aが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をXとし、Bが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をYとする。

(1) X = 4である確率を求める。

(2) X = Yである確率と、X >= 2Yである確率を求める。

(3) X > Yであるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) X = 4となるのは、Aが(1, 3), (2, 2), (3, 1)を取り出す場合。

Aの取り出し方は全部で ${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り。

(1, 3)の組み合わせは2枚の1と2枚の3から1枚ずつ取り出すので、$2 \times 2 = 4$通り。

(2, 2)の組み合わせは2枚の2から2枚取り出すので、${}_2 C_2 = 1$通り。

よって、X = 4となるのは$4 + 1 = 5$通り。

確率は$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

(2) X, Yの取りうる値は2から6。

X = Yとなるのは、X=Y=2, 3, 4, 5, 6の場合。

X = 2となるのは、(1, 1)を取り出す場合で1通り。Y = 2となる確率を考える。Aが(1,1)を取り出す確率は$\frac{1}{15}$。この時、残りのカードは2が2枚、3が2枚。この中からBが(1,1)を取り出すことはできないので確率は0。

X = 3となるのは、(1, 2)を取り出す場合で$2 \times 2 = 4$通り。確率は$\frac{4}{15}$。残りのカードは1, 2, 3がそれぞれ2枚、1枚、2枚。このとき、Bが和が3となるのは(1, 2)を取り出す場合で、その組み合わせは$1 \times 2 = 2$通り。従って、$\frac{4}{15} \times \frac{2}{{}_4 C_2} = \frac{4}{15} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{15} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{45}$。

X = 4となるのは(1,3)と(2,2)を取り出す場合で、$2 \times 2 + 1 = 5$通り。確率は$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$。このとき、残りのカードは1, 2, 3がそれぞれ1枚、0枚or1枚、1枚or2枚。Bが和が4となるのは(1, 3), (2, 2)を取り出す場合。残りのカードが(1, 3が1枚ずつ、2が2枚)の時は、1 x 1 = 1通り。残りのカードが(1, 2, 3が1枚ずつ)の時は0通り。残りのカードが(1, 3が1枚ずつ、2が1枚)の時は0通り。

確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{{}_4C_2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$

X >= 2Yとなる場合。

Yの取りうる最小値は2なので、2Yの最小値は4。Xの取りうる値は2~6。

Y=2のとき、Xは4, 5, 6。 Y=3のとき、Xは6。

X=4となるのは、Aが(1, 3), (2, 2), (3, 1)を取り出す場合。確率は$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$。

Aが(1,3)の場合、Y=2となる確率は、Bが(1,1)を取り出す場合のみ。残りのカードは1,2,2,3。Bが2となるのは0通り。

Aが(2,2)の場合、Y=2となる確率は、Bが(1,1)を取り出す場合のみ。残りのカードは1,1,3,3。Bが2となるのは(1,1)を取り出す場合のみ。確率は$\frac{1}{6}$

X >= 2Yとなるのは、

X = 4, Y = 2

X = 5, Y = 2

X = 6, Y = 2, 3

X = 5, Y = 1 (ない)

(3)

3. 最終的な答え

(1) 1/3

(2)

(3)