AとBの袋からそれぞれ2個ずつ球を取り出し箱に入れる。 (i) 箱の中の4個の球のうち、ちょうど2個が赤球である確率、およびちょうど3個が赤球である確率を求める。 (ii) 箱の中をよくかき混ぜて2個同時に取り出すとき、どちらの球も赤球である確率と、取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに、それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたものである条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

AとBの袋からそれぞれ2個ずつ球を取り出し箱に入れる。

(i) 箱の中の4個の球のうち、ちょうど2個が赤球である確率、およびちょうど3個が赤球である確率を求める。

(ii) 箱の中をよくかき混ぜて2個同時に取り出すとき、どちらの球も赤球である確率と、取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに、それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたものである条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

問題文に袋の情報が書かれていないので、一般的な解き方はできません。

ここでは、Aの袋に赤球がa個、白球が4-a個、Bの袋に赤球がb個、白球が4-b個入っていると仮定して解きます。

(i) ちょうど2個が赤球である確率

Aから取り出す赤球の個数を$i$、Bから取り出す赤球の個数を$j$とすると、$i+j=2$となる確率を求めればよい。

$i=0, j=2$のとき、$\frac{{}_{a}C_0 {}_{4-a}C_2}{{}_{4}C_2} \times \frac{{}_{b}C_2 {}_{4-b}C_0}{{}_{4}C_2}$

$i=1, j=1$のとき、$\frac{{}_{a}C_1 {}_{4-a}C_1}{{}_{4}C_2} \times \frac{{}_{b}C_1 {}_{4-b}C_1}{{}_{4}C_2}$

$i=2, j=0$のとき、$\frac{{}_{a}C_2 {}_{4-a}C_0}{{}_{4}C_2} \times \frac{{}_{b}C_0 {}_{4-b}C_2}{{}_{4}C_2}$

これらの和が、ちょうど2個が赤球である確率。

ちょうど3個が赤球である確率

$i+j=3$となる確率を求めればよい。

$i=1, j=2$のとき、$\frac{{}_{a}C_1 {}_{4-a}C_1}{{}_{4}C_2} \times \frac{{}_{b}C_2 {}_{4-b}C_0}{{}_{4}C_2}$

$i=2, j=1$のとき、$\frac{{}_{a}C_2 {}_{4-a}C_0}{{}_{4}C_2} \times \frac{{}_{b}C_1 {}_{4-b}C_1}{{}_{4}C_2}$

これらの和が、ちょうど3個が赤球である確率。

(ii) 2個とも赤球である確率

4個の球の中に赤球が$k$個あるとき（$k=0, 1, 2, 3, 4$）、2個とも赤球である確率は$\frac{{}_{k}C_2}{{}_{4}C_2}$。

$k=2$となる確率は(i)で計算。$k=3$となる確率は(i)で計算。

$k=4$となる確率は、$i+j=4$のときなので、$\frac{{}_{a}C_2 {}_{4-a}C_0}{{}_{4}C_2} \times \frac{{}_{b}C_2 {}_{4-b}C_0}{{}_{4}C_2}$。

$k=0, 1$となる確率は0。

これらの確率を足し合わせればよい。

条件付き確率

取り出した2個がどちらも赤球であるという条件の下で、1個のみがBの袋に入っていた確率は、ベイズの定理より、

$\frac{P(\text{2個とも赤球 かつ 1個のみがB}) }{P(\text{2個とも赤球})}$

分子の確率は、(i)において$i=1, j=1$の場合に対応する。

分母の確率は、上記で計算した2個とも赤球である確率。

3. 最終的な答え

Aの袋とBの袋の情報が不明なので、答えは一般式のみとなります。

(i) ちょうど2個が赤球である確率：$\frac{{}_{a}C_0 {}_{4-a}C_2 {}_{b}C_2 {}_{4-b}C_0 + {}_{a}C_1 {}_{4-a}C_1 {}_{b}C_1 {}_{4-b}C_1 + {}_{a}C_2 {}_{4-a}C_0 {}_{b}C_0 {}_{4-b}C_2}{{}_{4}C_2 \times {}_{4}C_2}$

ちょうど3個が赤球である確率：$\frac{{}_{a}C_1 {}_{4-a}C_1 {}_{b}C_2 {}_{4-b}C_0 + {}_{a}C_2 {}_{4-a}C_0 {}_{b}C_1 {}_{4-b}C_1}{{}_{4}C_2 \times {}_{4}C_2}$

(ii) 2個とも赤球である確率：上記参照

条件付き確率：上記参照