数直線上の原点Oに点Pがある。1個のサイコロを投げて、1,2,3,4の目が出たらPを正の方向に1だけ、5,6の目が出たらPを負の方向に1だけ移動させる。サイコロを4回投げた後、PがOにある確率を求めよ。

## 問題120

1. 問題の内容

数直線上の原点Oに点Pがある。1個のサイコロを投げて、1,2,3,4の目が出たらPを正の方向に1だけ、5,6の目が出たらPを負の方向に1だけ移動させる。サイコロを4回投げた後、PがOにある確率を求めよ。

2. 解き方の手順

4回サイコロを投げて原点に戻るためには、正の方向に進む回数と負の方向に進む回数が等しくなければならない。

つまり、正の方向に2回、負の方向に2回進む必要がある。

1,2,3,4の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ であり、5,6の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

4回中2回正の方向に進む確率は、二項分布を用いて計算できる。

${}_4 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2$ で計算できる。ここで、${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ である。

したがって、求める確率は $6 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$