袋の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、計6枚入っている。A, Bの2人が袋の中から無作為にそれぞれ2枚ずつカードを取り出す。Aが取り出した2枚のカードの和をX、Bが取り出した2枚のカードの和をYとする。 (1) $X=4$である確率を求めよ。 (2) $X=Y$である確率と、$X \ge 2Y$である確率を求めよ。 (3) $X > Y$であるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、計6枚入っている。A, Bの2人が袋の中から無作為にそれぞれ2枚ずつカードを取り出す。Aが取り出した2枚のカードの和をX、Bが取り出した2枚のカードの和をYとする。

(1) $X=4$である確率を求めよ。

(2) $X=Y$である確率と、$X \ge 2Y$である確率を求めよ。

(3) $X > Y$であるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X=4$となるのは、Aが(1, 3)または(2, 2)を取り出す場合である。

- (1, 3)を取り出す確率は、$\frac{2}{6} \times \frac{2}{5} \times 2 = \frac{4}{30} \times 2 = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

- (2, 2)を取り出す確率は、$\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

よって、$X=4$となる確率は、$\frac{4}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$。

(2) 全てのカードの組み合わせ数は $\binom{6}{2} \times \binom{4}{2} = 15 \times 6 = 90$通り。A, Bの順番を考慮すると6 * 5 * 4 * 3 = 360通り。

X = Yとなる確率

X=3の時、(1,2)の組み合わせなので、Bも(1,2)になる必要があり確率は、2/6*2/5*2/4*1/3 = 8/360

X=4の時、(1,3)もしくは(2,2)なので、Bも(1,3)もしくは(2,2)になる必要があり確率は、(2/6*2/5+2/6*1/5)*(2/4*1/3+2/4*1/3) = 6/30*3/12 = 18/360

X=5の時、(2,3)なので、Bも(2,3)になる必要があり確率は、2/6*2/5*2/4*1/3 = 8/360

X=6の時、(3,3)なので、Bも(3,3)になる必要があり確率は、2/6*1/5*2/4*1/3 = 2/360

X=Yとなる確率は、(8+18+8+2)/360 = 36/360 = 1/10 = 2/9

X>=2Yとなる確率

Yの最小値は3、最大値は6なので、X>=2Yとなるには、

Y=3の時、X=6なので確率=2/6*1/5*2/4*1/3=2/360

X=5の時、(2,3)なので、Bも(2,3)になる必要があり確率は、2/6*2/5*2/4*1/3 = 8/360

Y=4の時、X>=8となることはないので０

Y=5の時、X>=10となることはないので０

Y=6の時、X>=12となることはないので０

X>=2Yとなる確率は、(8+18+8+2)/360 = 36/360 = 1/10 = 1/9

(3) $X>Y$となる場合において、$B$が3のカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

$B$が3を取り出す場合は、$Y=4,5$の時

$P(Bが3を少なくとも１枚 | X > Y ) = \frac{P(Bが3を少なくとも１枚 かつ X > Y)}{P(X>Y)}$

$P(X > Y)$の時、$X=6, Y=3$ と $X=5, Y=3,4$ と $X=4, Y=3$

$X=6, Y=3$の確率 = 2/6 * 1/5 * 2/4 * 2/3 = 8/360

$X=5, Y=3$の確率 = 2/6 * 2/5 * 2/4 * 2/3 = 16/360

$X=5, Y=4$の確率 = 2/6 * 2/5 * (2/4 * 2/3 + 2/4 * 1/3) = 2/6 * 2/5 * 6/12 = 24/360

$X=4, Y=3$の確率 = (2/6 * 2/5 + 2/6 * 1/5) * (2/4 * 2/3) = 6/30 * 4/12 = 24/360

$P(X > Y) = (8 + 16 + 24 + 24)/360 = 72/360 = 1/5$

$P(Bが3を少なくとも１枚 かつ X > Y)$の時、$X=6, Y=3$ と $X=5, Y=3,4$ と $X=4, Y=3$

$B=3,3 \implies Y = 6$

$B=1,3 \implies Y = 4$

$B=2,3 \implies Y = 5$

$P(Bが3を少なくとも１枚 かつ X > Y) = (8 + 16 + 24)/360 = 48/360$

$\frac{48}{72} = 2/3$

3. 最終的な答え

19: 1/3

20: 2/9

21: 1/9

22: 8/35