平面上に $n$ 個の円があり、どの2つの円も互いに交わり、3つ以上の円は一点で交わらないとき、これらの円は平面をいくつの部分に分割するかを求める。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 個の円があり、どの2つの円も互いに交わり、3つ以上の円は一点で交わらないとき、これらの円は平面をいくつの部分に分割するかを求める。

2. 解き方の手順

$n$ 個の円によって平面が分割される領域の個数を $a_n$ とする。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2$

$n=2$ のとき、$a_2 = 4$

$n=3$ のとき、$a_3 = 8$

$n$ 個の円があるとき、$(n+1)$ 番目の円を追加すると、既に存在する $n$ 個の円とそれぞれ2回ずつ交わるので、$2n$ 個の交点ができる。この $2n$ 個の交点によって、$(n+1)$ 番目の円は $2n$ 個の弧に分割される。それぞれの弧は平面を分割する領域を1つずつ増加させる。

したがって、$a_{n+1} = a_n + 2n$ という漸化式が得られる。

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ を解く。

$a_1 = 2$

$a_2 = a_1 + 2(1) = 2 + 2 = 4$

$a_3 = a_2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$

$a_4 = a_3 + 2(3) = 8 + 6 = 14$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$

$a_n = 2 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 2 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 2 + n(n-1)$

$a_n = n^2 - n + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 2 = 2$

したがって、$a_n = n^2 - n + 2$ は $n \geq 1$ で成り立つ。

3. 最終的な答え

$n^2 - n + 2$