地点Aから木の先端Pを見上げた角度が45°であり、地点Aから木に向かって水平に4m進んだ地点BからPを見上げた角度が60°であるとき、木の高さを求めよ。目の高さは無視する。

1. 問題の内容

地点Aから木の先端Pを見上げた角度が45°であり、地点Aから木に向かって水平に4m進んだ地点BからPを見上げた角度が60°であるとき、木の高さを求めよ。目の高さは無視する。

2. 解き方の手順

木の真下の点をCとします。木の高さPCを$h$とします。ACの距離を$x$とします。

まず、地点Aから木の先端Pを見上げた角度が45°であることから、三角形APCは直角三角形であり、$\angle PAC = 45^\circ$です。したがって、$PC = AC$となるので、

$h = x$ ... (1)

次に、地点Bから木の先端Pを見上げた角度が60°であることから、三角形BPCは直角三角形であり、$\angle PBC = 60^\circ$です。BCの距離は$x-4$なので、$\tan 60^\circ = \frac{PC}{BC}$ より、

$\tan 60^\circ = \frac{h}{x-4}$

$\sqrt{3} = \frac{h}{x-4}$ ... (2)

(1)より、$x = h$なので、(2)に代入すると、

$\sqrt{3} = \frac{h}{h-4}$

$h = \sqrt{3}(h-4)$

$h = \sqrt{3}h - 4\sqrt{3}$

$h - \sqrt{3}h = -4\sqrt{3}$

$h(1 - \sqrt{3}) = -4\sqrt{3}$

$h = \frac{-4\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$

$h = \frac{-4\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}$

$h = \frac{-4\sqrt{3} - 4(3)}{1-3}$

$h = \frac{-4\sqrt{3} - 12}{-2}$

$h = 2\sqrt{3} + 6$

$h = 6 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

木の高さは $6 + 2\sqrt{3}$ m です。