与えられた2つの数列の極限値を求めます。 (1) $\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \dots, \frac{2n-1}{n}, \dots$ (2) $1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \dots, (-\frac{1}{3})^{n-1}, \dots$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の極限値を求めます。

(1) $\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \dots, \frac{2n-1}{n}, \dots$

(2) $1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \dots, (-\frac{1}{3})^{n-1}, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\frac{2n-1}{n}$ の極限を求めます。

$\frac{2n-1}{n} = \frac{2 - \frac{1}{n}}{1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{1} = \frac{2-0}{1} = 2$

(2) 数列 $(-\frac{1}{3})^{n-1}$ の極限を求めます。

$r = -\frac{1}{3}$ とすると、 $|r| = \frac{1}{3} < 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} r^{n-1} = \lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{3})^{n-1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = 2$

(2) $\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{3})^{n-1} = 0$