## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題1：2つの多項式AとBがあり、それらの和が $6x^3 + 2x^2 - 3x - 4$ であり、差が $2x^3 - 6x^2 + 3x + 12$ であるとき、多項式AとBを求めよ。

問題2：以下の式を展開せよ。

(1) $(3x-1)(x^2+7x-5)$

(2) $(x^2-x+1)^2$

(3) $(a-2b-\frac{1}{2}c)(a+2b+\frac{1}{2}c)$

(4) $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$

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2. 解き方の手順

### 問題1

多項式をA, Bとすると、問題文より以下の式が成り立つ。

$A + B = 6x^3 + 2x^2 - 3x - 4$ (1)

$A - B = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 12$ (2)

(1) + (2) より、

$2A = (6x^3 + 2x^2 - 3x - 4) + (2x^3 - 6x^2 + 3x + 12)$

$2A = 8x^3 - 4x^2 + 8$

$A = 4x^3 - 2x^2 + 4$

(1) - (2) より、

$2B = (6x^3 + 2x^2 - 3x - 4) - (2x^3 - 6x^2 + 3x + 12)$

$2B = 4x^3 + 8x^2 - 6x - 16$

$B = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 8$

### 問題2

(1) $(3x-1)(x^2+7x-5)$

$= 3x(x^2+7x-5) -1(x^2+7x-5)$

$= 3x^3 + 21x^2 - 15x - x^2 - 7x + 5$

$= 3x^3 + 20x^2 - 22x + 5$

(2) $(x^2-x+1)^2$

$= (x^2-x+1)(x^2-x+1)$

$= x^2(x^2-x+1) -x(x^2-x+1) + 1(x^2-x+1)$

$= x^4 - x^3 + x^2 - x^3 + x^2 - x + x^2 - x + 1$

$= x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

(3) $(a-2b-\frac{1}{2}c)(a+2b+\frac{1}{2}c)$

$= (a - (2b + \frac{1}{2}c))(a + (2b + \frac{1}{2}c))$

$= a^2 - (2b + \frac{1}{2}c)^2$

$= a^2 - (4b^2 + 2bc + \frac{1}{4}c^2)$

$= a^2 - 4b^2 - 2bc - \frac{1}{4}c^2$

(4) $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$

$= (x-1)(x+3)(x-2)(x+6)$

$= (x^2+2x-3)(x^2+4x-12)$

$= x^2(x^2+4x-12) + 2x(x^2+4x-12) - 3(x^2+4x-12)$

$= x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2x^3 + 8x^2 - 24x - 3x^2 - 12x + 36$

$= x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$

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3. 最終的な答え

問題1：

$A = 4x^3 - 2x^2 + 4$

$B = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 8$

問題2：

(1) $3x^3 + 20x^2 - 22x + 5$

(2) $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

(3) $a^2 - 4b^2 - 2bc - \frac{1}{4}c^2$

(4) $x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$