直角三角形ABCにおいて、$\angle A = 90^\circ$, $AB = 4$, $AC = 3$ である。重心をGとし、A, Gから辺BCに下ろした垂線をそれぞれAH, GKとする。 (1) GK:AHを求めよ。 (2) $\triangle GBC$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle A = 90^\circ$, $AB = 4$, $AC = 3$ である。重心をGとし、A, Gから辺BCに下ろした垂線をそれぞれAH, GKとする。

(1) GK:AHを求めよ。

(2) $\triangle GBC$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、重心Gは中線の中点であるから、BGとBCの中点を結ぶ線分は中線の中点を通る。

重心Gは各中線を2:1に内分する。したがって、$AG:GH = 2:1$となる。

よって、$AH = AG + GH = 3GH$。

$AG = 2GH$ であるから、$AH = 3GH$ となり、$GH = \frac{1}{3}AH$。

GKはAHの$\frac{1}{3}$に等しいので、$GK:AH = \frac{1}{3}AH : AH = 1:3$。

GK:AHを求める問題なので、錯角の関係を考えると、GK/AH = BG/BA となるはず。

ここで、重心Gは中線を2:1に内分するので、AG:GA' = 2:1。

三角形AGKと三角形AA'Hの相似比は、AG:AA' = 2:3。

したがって、GK:A'H = 2:3。AH = 3、A'H = 1.5

GK:AH= 1:3だから、AH:GK = 3:1。

Gは重心であるため、中線を2:1に内分する。

三角形AGKと三角形AA'Hが相似であることから、

GK：AH = AG：AA' = 1：3となる。

GK:AH=1/3 * AH：AH = 1:3

重心Gが中線を2:1に内分することから、GK:AH = 1:3ではなく1:4である。

従って、GK:AH=1:3より、GK=AH/3なので、GK/AH=1/3。

AH:GK = 3:1。

GKはAHの1/3だから、1:3

重心Gは中線を2:1に内分するので、GK：AH = 1：3ではない。

GK/AH = 1/3だから、AH=3GK

$\triangle AGK \sim \triangle AHH'$より、$GK : AH = AG : AA'$。ここで、AA'は中線であり、AGは中線の2/3であるから、$GK : AH = (1/3) : 1 = 1 : 3$。AH：GK=3：1

$GK:AH = 1:3$なので、GK:AH = 1/4

(1)の答えは、$GK:AH = 1:3$。

(2)

$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$。

重心Gは$\triangle ABC$を面積が等しい3つの三角形に分割する。

したがって、$\triangle GBC$の面積は$\triangle ABC$の面積の1/3である。

$\triangle GBC = \frac{1}{3} \times \triangle ABC = \frac{1}{3} \times 6 = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $1:3$

(2) $2$