画像に示された数学の問題は、三角比に関するものです。具体的には、直角三角形における三角比の値、三角比の相互関係、90°-θや180°-θの三角比、そして三角比の対称式の値を求める問題が含まれています。

1. 問題の内容

画像に示された数学の問題は、三角比に関するものです。具体的には、直角三角形における三角比の値、三角比の相互関係、90°-θや180°-θの三角比、そして三角比の対称式の値を求める問題が含まれています。

2. 解き方の手順

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1. 三角比の値（2）

$cos 30^\circ \cdot tan 30^\circ + sin 60^\circ \cdot tan 60^\circ$を計算します。

$cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tan 60^\circ = \sqrt{3}$

よって、$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$

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2. 三角比の相互関係

(1) $cos \theta = -\frac{3}{5}$のとき、$sin \theta$と$tan \theta$を求めます。

$0^\circ < \theta < 180^\circ$なので、$sin \theta > 0$です。

$sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$より、$sin^2 \theta = 1 - cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

よって、$sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$tan \theta = \frac{sin \theta}{cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$

(2) $tan \theta = -2\sqrt{2}$のとき、$cos \theta$を求めます。

$\frac{1}{cos^2 \theta} = 1 + tan^2 \theta$より、$cos^2 \theta = \frac{1}{1 + tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + (-2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 + 8} = \frac{1}{9}$

よって、$cos \theta = \pm \frac{1}{3}$

$tan \theta = -2\sqrt{2} < 0$であり、$0^\circ < \theta < 180^\circ$なので、$cos \theta < 0$

したがって、$cos \theta = -\frac{1}{3}$

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3. 90°-θ, 180°-θの三角比

(1) $sin 52^\circ = cos (90^\circ - 52^\circ) = cos 38^\circ$, $cos 70^\circ = sin (90^\circ - 70^\circ) = sin 20^\circ$

(2) $sin 140^\circ = sin (180^\circ - 140^\circ) = sin 40^\circ$, $cos 110^\circ = -cos (180^\circ - 110^\circ) = -cos 70^\circ$

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4. 三角比の対称式の値

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$とし、$sin \theta + cos \theta = \frac{1}{3}$のとき、$sin \theta \cdot cos \theta$、$tan \theta + \frac{1}{tan \theta}$を求めます。

$(sin \theta + cos \theta)^2 = sin^2 \theta + 2 sin \theta cos \theta + cos^2 \theta = 1 + 2 sin \theta cos \theta$

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} = 1 + 2 sin \theta cos \theta$

$2 sin \theta cos \theta = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$

$sin \theta cos \theta = -\frac{4}{9}$

$tan \theta + \frac{1}{tan \theta} = \frac{sin \theta}{cos \theta} + \frac{cos \theta}{sin \theta} = \frac{sin^2 \theta + cos^2 \theta}{sin \theta cos \theta} = \frac{1}{sin \theta cos \theta} = \frac{1}{-\frac{4}{9}} = -\frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

31: ア = 2

32: (1) ア = 4/5, ウエ = -4/3 (2) カキ/ク = -1/3

33: (1) アイ = 38°, ウェ = 20° (2) オカ = 40°, キク = 70°

34: アイ/ウ = -4/9, エオ/カ = -9/4