点 $Q$ が放物線 $y=x^2$ 上を動くとき、点 $A(2, -2)$ と点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ を $1:2$ に内分する点 $P$ の軌跡を求める。

1. 問題の内容

点 $Q$ が放物線 $y=x^2$ 上を動くとき、点 $A(2, -2)$ と点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ を $1:2$ に内分する点 $P$ の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$、点 $Q$ の座標を $(s, t)$ とする。

点 $Q$ は放物線 $y=x^2$ 上の点なので、$t=s^2$ が成り立つ。

点 $P$ は線分 $AQ$ を $1:2$ に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot s}{1 + 2} = \frac{4+s}{3}$

$y = \frac{2 \cdot (-2) + 1 \cdot t}{1 + 2} = \frac{-4+t}{3}$

これらの式から $s$ と $t$ を $x$ と $y$ で表すと、

$s = 3x - 4$

$t = 3y + 4$

$t = s^2$ に代入すると、

$3y + 4 = (3x - 4)^2$

$3y + 4 = 9x^2 - 24x + 16$

$3y = 9x^2 - 24x + 12$

$y = 3x^2 - 8x + 4$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、$y = 3x^2 - 8x + 4$ である。