点(2, -1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点(2, -1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、求める直線の方程式を $y = m(x-2) - 1$ とおく。整理すると $y = mx - 2m - 1$となる。

この直線が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するということは、円の中心(0, 0)と直線 $mx - y - 2m - 1 = 0$ との距離が半径1に等しいということである。

点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|m(0) - (0) - 2m - 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$$

$$\frac{|-2m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$$

両辺を2乗すると、

$$(-2m - 1)^2 = m^2 + 1$$

$$4m^2 + 4m + 1 = m^2 + 1$$

$$3m^2 + 4m = 0$$

$$m(3m + 4) = 0$$

したがって、$m = 0$ または $m = -\frac{4}{3}$

(i) $m=0$ のとき、直線の方程式は $y = 0(x-2) - 1$ より $y = -1$

(ii) $m = -\frac{4}{3}$ のとき、直線の方程式は $y = -\frac{4}{3}(x-2) - 1$ より

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} - 1$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$

$3y = -4x + 5$

$4x + 3y - 5 = 0$

3. 最終的な答え

求める直線の方程式は、$y = -1$ と $4x + 3y - 5 = 0$ である。