与えられた式 $ \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} $ を評価または簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}$ を評価または簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、置換積分を用いて解くことができます。

まず、$u = x^2$ と置換します。

すると、$du = 2x \, dx$ となります。したがって、$x \, dx = \frac{1}{2} \, du$ です。

元の式にこれらの置換を適用すると、次のようになります。

$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} x \, dx$$

$$= \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{1}{2} \, du$$

$$= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, du$$

ここで、$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, du = \arcsin(u) + C$ です。

したがって、

$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, du = \frac{1}{2} \arcsin(u) + C$$

最後に、$u = x^2$ を元に戻すと、

$$\frac{1}{2} \arcsin(x^2) + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \arcsin(x^2) + C$