問題4の(2)を解きます。 2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 4a - 12$ のグラフと$x$軸の2より小さい部分が異なる2点で交わるとき、$a$のとり得る値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。問題文と解答を作成します。

1. 問題の内容

問題4の(2)を解きます。

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 4a - 12$ のグラフと$x$軸の2より小さい部分が異なる2点で交わるとき、$a$のとり得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2次関数のグラフと$x$軸が異なる2点で交わる条件を考えます。

これは、判別式 $D > 0$ が成り立つことと同値です。

次に、$x$軸との交点が2より小さい範囲にあるための条件を考えます。

これは、軸の位置が2より小さいこと、および $x = 2$ のときの$y$の値が正であることで保証されます。

具体的に計算していきます。

与えられた2次関数を $y = f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 4a - 12$ とおきます。

(1) $x$軸と異なる2点で交わる条件：

判別式 $D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 + 4a - 12) = 4a^2 - 4a^2 - 16a + 48 = -16a + 48$

$D > 0$ より、

$-16a + 48 > 0$

$16a < 48$

$a < 3$

(2) 軸の位置が $x = 2$ より小さい条件：

軸は $x = a$ なので、

$a < 2$

(3) $f(2) > 0$ の条件：

$f(2) = (2)^2 - 2a(2) + a^2 + 4a - 12 = 4 - 4a + a^2 + 4a - 12 = a^2 - 8$

$f(2) > 0$ より、

$a^2 - 8 > 0$

$a^2 > 8$

$a < -2\sqrt{2}$ または $a > 2\sqrt{2}$

これらの条件をすべて満たす$a$の範囲を求めます。

$a < 3$, $a < 2$, $a < -2\sqrt{2}$ または $a > 2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} \approx 2.828$ なので、これらの条件を満たす$a$の範囲は

$a < -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a < -2\sqrt{2}$