与えられた2つの2次関数の、指定された定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = 2(x-2)^2 + 1$ ($0 \le x \le 3$) (2) $y = -x^2 + 3x$ ($2 \le x \le 4$)

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数の、指定された定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = 2(x-2)^2 + 1$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y = -x^2 + 3x$ ($2 \le x \le 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(x-2)^2 + 1$ ($0 \le x \le 3$)の場合：

* 平方完成された形なので、頂点が$(2, 1)$であることがわかります。軸は$x = 2$であり、これは定義域に含まれています。

* $x=2$のとき、$y=1$（最小値候補）

* 定義域の端点$x=0$と$x=3$における$y$の値を計算します。

$x=0$のとき、$y = 2(0-2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 9$

$x=3$のとき、$y = 2(3-2)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 3$

* $x=0$で最大値$9$、$x=2$で最小値$1$をとります。

(2) $y = -x^2 + 3x$ ($2 \le x \le 4$)の場合：

* 平方完成します。

$y = -(x^2 - 3x) = -(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2) + (\frac{3}{2})^2 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$

* 頂点は$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$、軸は$x = \frac{3}{2} = 1.5$です。定義域は$2 \le x \le 4$なので、軸は定義域に含まれていません。したがって、定義域の端点で最大値または最小値を取ります。

* 定義域の端点$x=2$と$x=4$における$y$の値を計算します。

$x=2$のとき、$y = -(2)^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2$

$x=4$のとき、$y = -(4)^2 + 3(4) = -16 + 12 = -4$

* $x=2$で最大値$2$、$x=4$で最小値$-4$をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $9$ ($x=0$のとき), 最小値: $1$ ($x=2$のとき)

(2) 最大値: $2$ ($x=2$のとき), 最小値: $-4$ ($x=4$のとき)