与えられた分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}$ と見て、$(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})((\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2})}{((\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{2})((\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2})}$

分母は $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = (5 + 2\sqrt{15} + 3) - 2 = 6 + 2\sqrt{15}$ となります。

分子は $(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{5}\sqrt{3} + \sqrt{5}\sqrt{2} + \sqrt{3}\sqrt{2}) = 5 + 3 + 2 + 2(\sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}) = 10 + 2(\sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6})$ となります。

したがって、

$\frac{10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{6 + 2\sqrt{15}} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}}$

次に、$3 - \sqrt{15}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6})(3 - \sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})} = \frac{15 + 3\sqrt{15} + 3\sqrt{10} + 3\sqrt{6} - 5\sqrt{15} - 15 - \sqrt{150} - \sqrt{90}}{9 - 15} = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{10} + 3\sqrt{6} - 5\sqrt{6} - 3\sqrt{10}}{-6} = \frac{-2\sqrt{15} - 2\sqrt{6}}{-6} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$