5つの問題があります。 (1) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ を展開する。 (2) $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を展開する。 (3) $x^4+4$ を因数分解する。 (4) $xy+2x+3y+6$ を因数分解する。 (5) $a^2+b^2+bc-ca-2ab$ を因数分解する。

1. 問題の内容

5つの問題があります。

(1) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ を展開する。

(2) $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を展開する。

(3) $x^4+4$ を因数分解する。

(4) $xy+2x+3y+6$ を因数分解する。

(5) $a^2+b^2+bc-ca-2ab$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ の展開

まず、$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$ を計算します。

次に、$(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$ を計算します。

したがって、$(x+1)(x-1)(x-2)(x-4) = (x^2 - 1)(x^2 - 6x + 8)$ を展開します。

$(x^2 - 1)(x^2 - 6x + 8) = x^4 - 6x^3 + 8x^2 - x^2 + 6x - 8 = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(2) $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ の展開

$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を計算します。

$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = (x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy) = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$ を計算します。

したがって、$(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = (x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4)$ を展開します。

$(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4) = x^6 + x^4y^2 + x^2y^4 - x^4y^2 - x^2y^4 - y^6 = x^6 - y^6$

(3) $x^4+4$ の因数分解

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2+2x)(x^2+2-2x) = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

(4) $xy+2x+3y+6$ の因数分解

$xy+2x+3y+6 = x(y+2) + 3(y+2) = (x+3)(y+2)$

(5) $a^2+b^2+bc-ca-2ab$ の因数分解

$a^2+b^2+bc-ca-2ab = a^2 - 2ab + b^2 - ca + bc = (a-b)^2 - c(a-b) = (a-b)(a-b-c)$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(2) $x^6 - y^6$

(3) $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

(4) $(x+3)(y+2)$

(5) $(a-b)(a-b-c)$