実数 $x, y, z$ が $(y-z)x^2 + (z-x)y^2 + (x-y)z^2 = 0$ を満たすとき、$x, y, z$ のうち少なくとも2つは等しいことを示す。

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が $(y-z)x^2 + (z-x)y^2 + (x-y)z^2 = 0$ を満たすとき、$x, y, z$ のうち少なくとも2つは等しいことを示す。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形していく。

$(y-z)x^2 + (z-x)y^2 + (x-y)z^2 = 0$

$x^2y - x^2z + y^2z - xy^2 + xz^2 - yz^2 = 0$

$x^2y - xy^2 - x^2z + xz^2 + y^2z - yz^2 = 0$

$xy(x-y) - z(x^2 - y^2) + z^2(x-y) = 0$

$xy(x-y) - z(x-y)(x+y) + z^2(x-y) = 0$

$(x-y)[xy - z(x+y) + z^2] = 0$

$(x-y)[xy - zx - zy + z^2] = 0$

$(x-y)[x(y-z) - z(y-z)] = 0$

$(x-y)(y-z)(x-z) = 0$

よって、$x-y = 0$ または $y-z = 0$ または $x-z = 0$ である。

したがって、$x = y$ または $y = z$ または $x = z$ である。

これは、$x, y, z$ のうち少なくとも2つは等しいことを意味する。

3. 最終的な答え

$x, y, z$ のうち少なくとも2数は等しい。