与えられた方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

$x-3 \ge 0$ つまり $x \ge 3$ のとき、$x-3 = 2x$ となり、$x = -3$。これは$x \ge 3$を満たさないので不適。

$x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき、$-(x-3) = 2x$ となり、$-x+3 = 2x$、よって $3x = 3$、$x = 1$。これは$x < 3$を満たすので適する。

ただし、$2x \ge 0$である必要があるので、$x \ge 0$である必要がある。$x = 1$はこれを満たす。

(2) $|x-4| \le 2x+1$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

$x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 4$ のとき、$x-4 \le 2x+1$ となり、$x \ge -5$。$x \ge 4$との共通範囲は $x \ge 4$。

$x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき、$-(x-4) \le 2x+1$ となり、$-x+4 \le 2x+1$、よって $3x \ge 3$、$x \ge 1$。$x < 4$との共通範囲は $1 \le x < 4$。

したがって、$x \ge 4$と$1 \le x < 4$を合わせて、$x \ge 1$。

(3) $|x+1| > 5x$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

$x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき、$x+1 > 5x$ となり、$4x < 1$、よって $x < \frac{1}{4}$。$x \ge -1$との共通範囲は $-1 \le x < \frac{1}{4}$。

$x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき、$-(x+1) > 5x$ となり、$-x-1 > 5x$、よって $6x < -1$、$x < -\frac{1}{6}$。$x < -1$との共通範囲は $x < -1$。

したがって、$-1 \le x < \frac{1}{4}$と$x < -1$を合わせて、$x < \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$