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25の階乗 ($25!$) が $10^n$ で割り切れるような最大の自然数 $n$ を求める問題です。

数論階乗素因数分解約数
2025/5/30

1. 問題の内容

25の階乗 (25!25!) が 10n10^n で割り切れるような最大の自然数 nn を求める問題です。

2. 解き方の手順

10n10^n で割り切れるということは、25!25! は 1010 を nn 個因数に持つということです。 10=2×510 = 2 \times 5 なので、25!25! が 22 と 55 をそれぞれいくつ因数に持つかを調べ、少ない方の数が nn となります。25!25! の因数分解における 22 の個数よりも 55 の個数の方が少ないので、55 の個数を調べれば十分です。
25!25! の中に 55 の倍数がいくつあるかを数えます。
* 55 の倍数：5,10,15,20,255, 10, 15, 20, 25 の 55 個。
* 25=5×525 = 5 \times 5 なので、2525 は 55 を 2つ含みます。
したがって、25!25! は 55 を 5+1=65 + 1 = 6 個因数に持ちます。よって、25!25! は 10610^6 で割り切れます。

3. 最終的な答え

6

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