２つの直線 $y = mx + 8$ と $y = 2x + 1$ が、x座標が3である点Aで交わっている。この２つの直線とy軸との交点をそれぞれB, Cとするとき、以下の問いに答えよ。 (1) 点Aのy座標を求めよ。 (2) mの値を求めよ。 (3) △ABCの面積を求めよ。 (4) 点Bを通り、直線 $y = 2x + 1$ に平行な直線の式を求めよ。 (5) (4)上に点Dをとり、四角形ABDCが平行四辺形になるようにするとき、点Dの座標を求めよ。

## 問題３

1. 問題の内容

２つの直線 $y = mx + 8$ と $y = 2x + 1$ が、x座標が3である点Aで交わっている。この２つの直線とy軸との交点をそれぞれB, Cとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点Aのy座標を求めよ。

(2) mの値を求めよ。

(3) △ABCの面積を求めよ。

(4) 点Bを通り、直線 $y = 2x + 1$ に平行な直線の式を求めよ。

(5) (4)上に点Dをとり、四角形ABDCが平行四辺形になるようにするとき、点Dの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aのy座標を求める

点Aは直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、x座標が3のとき、y座標は $y = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$ となる。

(2) mの値を求める

点A(3, 7)は直線 $y = mx + 8$ 上にもあるので、これを代入すると、 $7 = 3m + 8$ となる。

これを解くと $3m = 7 - 8 = -1$ なので、 $m = -\frac{1}{3}$ となる。

(3) △ABCの面積を求める

直線 $y = mx + 8$ は $y = -\frac{1}{3}x + 8$ である。この直線とy軸との交点Bのy座標は8である。

直線 $y = 2x + 1$ とy軸との交点Cのy座標は1である。

よって、B(0, 8) と C(0, 1) である。

線分BCの長さは $8 - 1 = 7$ となる。

点A(3, 7)からy軸までの距離（すなわち△ABCの高さ）は3である。

したがって、△ABCの面積は $\frac{1}{2} \times 7 \times 3 = \frac{21}{2}$ である。

(4) 点Bを通り、直線 $y = 2x + 1$ に平行な直線の式を求める

求める直線は傾きが2で、点B(0, 8)を通るので、$y = 2x + b$ とおくと、$8 = 2(0) + b$ となり、$b = 8$ となる。

したがって、求める直線の式は $y = 2x + 8$ である。

(5) 四角形ABDCが平行四辺形になるように点Dの座標を求める

四角形ABDCが平行四辺形になるためには、$\vec{AB} = \vec{CD}$ が成り立つ必要がある。

点A(3, 7)、点B(0, 8)、点C(0, 1)である。点Dの座標を(x, y)とする。

$\vec{AB} = (0 - 3, 8 - 7) = (-3, 1)$

$\vec{CD} = (x - 0, y - 1) = (x, y - 1)$

よって、 $x = -3$ であり、$y - 1 = 1$ なので、$y = 2$ となる。

したがって、点Dの座標は (-3, 2) である。

また点Dは、(4)で求めた直線 $y = 2x + 8$ 上にある必要があるので、 $2 = 2(-3) + 8 = -6 + 8 = 2$ となり、確かに点Dは直線 $y = 2x + 8$ 上にある。

3. 最終的な答え

(1) 点Aのy座標: 7

(2) mの値: $-\frac{1}{3}$

(3) △ABCの面積: $\frac{21}{2}$

(4) 点Bを通り、直線 $y = 2x + 1$ に平行な直線の式: $y = 2x + 8$

(5) 点Dの座標: (-3, 2)