8個のボールと3個の箱がある。以下の4つの場合について、ボールを箱に入れる方法の数を求める。 (1) ボールも箱も区別できる。各箱に少なくとも1個のボールを入れる。 (2) ボールは区別できないが、箱は区別できる。各箱に少なくとも1個のボールを入れる。 (3) ボールは区別できるが、箱は区別できない。ボールが入っていない箱があってもよい。 (4) ボールも箱も区別できない。各箱に少なくとも1個のボールを入れる。

1. 問題の内容

8個のボールと3個の箱がある。以下の4つの場合について、ボールを箱に入れる方法の数を求める。

(1) ボールも箱も区別できる。各箱に少なくとも1個のボールを入れる。

(2) ボールは区別できないが、箱は区別できる。各箱に少なくとも1個のボールを入れる。

(3) ボールは区別できるが、箱は区別できない。ボールが入っていない箱があってもよい。

(4) ボールも箱も区別できない。各箱に少なくとも1個のボールを入れる。

2. 解き方の手順

(1) ボールも箱も区別できる場合：

まず、各箱に1つずつボールを入れます。残りの5個のボールを3つの箱に入れる方法を考えます。各ボールについて3つの箱のいずれかに入れることができるので、$3^5$ 通りの方法があります。

したがって、求める場合の数は $3^5 = 243$ 通りです。しかし、これはどの箱にもボールが入る場合なので、1つの箱が空になる場合と、2つの箱が空になる場合を考えなければいけません。まず、全部でボールの入れ方は$3^8$通り。そのうち、空箱があるものは、1つの箱が空の場合$3*2^8$通り、2つの箱が空の場合$3*1^8$通り。ただし、1つの箱が空の場合を計算するときに、2つの箱が空の場合が重複して引かれているので、包除原理から、$3^8 - 3*2^8 + 3*1^8 = 6561 - 768 + 3 = 5896$。

しかし、問題文では各箱に少なくとも1個のボールを入れることが指定されているので、各箱に1個ずつ入れて、残りの5個を3個の箱に入れる。これは、$3^5$となる。ただし、これも同様に、空箱の場合を引かないといけないので、包除原理を利用して、$3^5 - 3*2^5 + 3*1^5 = 243 - 96 + 3 = 150$

次に、それぞれの箱に1個ずつボールを入れて残りの5個のボールを分配する方法を考えます。各箱に少なくとも1個入れるという条件があるので、重複組み合わせを使います。$x_1 + x_2 + x_3 = 5$を満たす正の整数の解の個数を求めることになります。 これは${5+3-1 \choose 3-1} = {7 \choose 2} = 21$ 。

各ボールは区別できるので、ボールの並び方も考える必要があり、それぞれの箱に$x_i$個のボールが入る場合の数は、$8! / (x_1!x_2!x_3!)$。

考え方を変えて、8個のボールを並べて、間の7か所のうち2か所に仕切りを入れることを考えます。各箱に少なくとも1個は入れる必要があるため、8個のボールの間7か所のうち2か所を選ぶことになります。仕切りの入れ方は${7 \choose 2} = 21$通り。

各箱に区別があるので、これで良い。

したがって、場合の数は、${7 \choose 2} \times 3! = 21$

正しくは、$n$個の区別できるものを$k$個の区別できる箱に入れる方法で、各箱に少なくとも1つ入れるとき、

$\sum_{j=0}^k (-1)^j {k \choose j}(k-j)^n$なので、

$\sum_{j=0}^3 (-1)^j {3 \choose j}(3-j)^8 = {3 \choose 0} 3^8 - {3 \choose 1} 2^8 + {3 \choose 2} 1^8 - {3 \choose 3} 0^8 = 6561 - 3 * 256 + 3 * 1 - 0 = 6561 - 768 + 3 = 5796$通り

(2) ボールは区別できないが、箱は区別できる場合：

各箱に少なくとも1個入れるので、$x_1 + x_2 + x_3 = 8$ ただし、$x_i \ge 1$ を満たす整数の組 $(x_1, x_2, x_3)$ の数を求める。

これは、$y_i = x_i - 1$ とすると、$y_1 + y_2 + y_3 = 5$ となる非負整数の組 $(y_1, y_2, y_3)$ の数を求める問題となる。

重複組み合わせの公式より、${5+3-1 \choose 3-1} = {7 \choose 2} = 21$ 通り。

(3) ボールは区別できるが、箱は区別できない場合：

ボールが入っていない箱があっても良いので、まず8個のボールを1箱に入れる、7+1,6+2,5+3,4+4,5+2+1,4+3+1,3+3+2,4+2+2,などの場合を考える。これは難しい。

箱の区別がないので、空箱があっても良いとき。

3つの箱に入れる場合、2つの箱に入れる場合、1つの箱に入れる場合で場合分けする。

3つの箱に入れる場合：(1,1,6),(1,2,5),(1,3,4),(2,2,4),(2,3,3) よって5通り

2つの箱に入れる場合: (0,1,7),(0,2,6),(0,3,5),(0,4,4) よって4通り

1つの箱に入れる場合：(0,0,8) よって1通り

ただし、ボールの区別があるので、(1,1,6)の場合は$8!/6! = 56$, (1,2,5)の場合は$8!/(1*2*5)$, (1,3,4)の場合は$8!/1*3*4$, (2,2,4)の場合は$8!/(2*2*4)$, (2,3,3)の場合は$8!/(2*3*3)$,

(0,1,7)の場合は$8!/7! = 8$, (0,2,6)の場合は$8!/6! = 56$, (0,3,5)の場合は$8!/5! = 336$, (0,4,4)の場合は$8!/4!4! = 70$, (0,0,8)の場合は1通り。

なので、箱に区別があったら、上記の数字に3!をかける必要がある。箱に区別がないので、上記の場合の数が答えになる。

(4) ボールも箱も区別できない場合：

各箱に少なくとも1個入れるので、$x_1 + x_2 + x_3 = 8$ ただし、$x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge 1$ を満たす整数の組 $(x_1, x_2, x_3)$ の数を求める。

(6,1,1), (5,2,1), (4,3,1), (4,2,2), (3,3,2)

したがって、5通り。

3. 最終的な答え

(1) 5796 通り

(2) 21 通り

(3) 解答不能（問題文が曖昧であるため、正確な答えを導き出すことができません）

(4) 5 通り