10人の中学生の休日の学習時間が与えられています。学習時間は、4, 7, 3, x, 2, 7, 10, 4, y, 8です。最頻値は7時間のみであり、中央値は6時間です。xとyは自然数であり、$x \le y$という条件のもとで、$x$と$y$の値を求めます。

1. 問題の内容

10人の中学生の休日の学習時間が与えられています。学習時間は、4, 7, 3, x, 2, 7, 10, 4, y, 8です。最頻値は7時間のみであり、中央値は6時間です。xとyは自然数であり、$x \le y$という条件のもとで、$x$と$y$の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられたデータを小さい順に並べます。ただし、$x$と$y$の値はまだわかっていないので、一旦仮の順序で並べます。

2, 3, 4, 4, 7, 7, 8, 10, x, y (または並び順が異なる場合もあります)

データは10個なので、中央値は5番目の値と6番目の値の平均になります。したがって、

$\frac{5番目の値 + 6番目の値}{2} = 6$

また、最頻値が7であることから、$x$と$y$が7ではないことがわかります。

仮に並べたデータを用いて考えます。

並び替えたデータにおいて，$x$と$y$の位置によって場合分けして考えます。

- 場合1: $x \le 4$の場合

並び替えたデータは次のようになります。

2, 3, $x$, 4, 4, 7, 7, 8, $y$, 10

中央値は$\frac{4+7}{2} = 5.5$となり、6と矛盾します。

- 場合2: $4 < x \le 7$の場合

並び替えたデータは次のようになります。

2, 3, 4, 4, $x$, 7, 7, 8, $y$, 10

中央値は$\frac{x+7}{2} = 6$となります。

したがって、$x+7 = 12$より、$x = 5$。

このとき、並び替えたデータは

2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 8, $y$, 10

最頻値が7のみであることから、$y \ne 5$なので、$y > 7$です。

- 場合3: $7 < x \le 8$の場合

並び替えたデータは次のようになります。

2, 3, 4, 4, 7, 7, $x$, 8, $y$, 10

中央値は$\frac{7+7}{2} = 7$となり、6と矛盾します。

以上より、$x=5$であることがわかりました。

このとき、並び替えたデータは

2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 8, $y$, 10

中央値が6になるためには、$y$がどの位置にあっても、5番目と6番目の平均が6になる必要があります。

したがって、$y$は8より大きい必要があります。

中央値は$\frac{5+7}{2} = 6$で条件を満たします。

$y$は7以外の値であればどのような値でも良いですが、$y$は自然数であることと、最頻値が7のみである条件を満たす必要があるため、$y>8$を満たす必要があります。

もともとのデータの並びは4, 7, 3, 5, 2, 7, 10, 4, $y$, 8 です。

$x \le y$である必要があるので、$5 \le y$です。

並べ替えたデータは 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 8, $y$, 10 となります。中央値が6となるのでこれは正しいです。

最頻値が7のみである条件も満たします。

$y>8$なので、$y$は9以上の自然数です。特に条件がないので、$y$は自由に選べます。

問題文に「$x, y$ の値を求めなさい」とあるので、一意に定まる必要があります。

4, 7, 3, x, 2, 7, 10, 4, y, 8 を並べ替えて

2, 3, 4, 4, x, 7, 7, 8, y, 10

中央値が6なので (x+7)/2 = 6 つまり x=5

2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 8, y, 10

最頻値が7のみなので y>8

y=9

3. 最終的な答え

$x = 5$

$y = 9$