4人でじゃんけんを1回するとき、以下の確率を求めます。 (1) 1人だけが勝つ確率 (2) 2人だけが勝つ確率 (3) あいこになる確率

1. 問題の内容

4人でじゃんけんを1回するとき、以下の確率を求めます。

(1) 1人だけが勝つ確率

(2) 2人だけが勝つ確率

(3) あいこになる確率

2. 解き方の手順

(1) 1人だけが勝つ確率

4人のうち誰が勝つかを考えます。勝つ人は4人から1人選ぶので $4C1 = 4$ 通りあります。

勝つ手がグー、チョキ、パーの3通りあります。

残りの3人は負ける必要があるので、勝った手以外の2つの手から選びます。つまり、「勝った手がグーの時、負ける3人は全員チョキを出す」、「勝った手がグーの時、負ける3人は全員パーを出す」といった状態です。

したがって、負ける手の出し方は1通りしかありません。

全員の手の出し方は $3^4 = 81$ 通りです。

よって、1人だけが勝つ確率は、

$\frac{4 \times 3 \times 1}{81} = \frac{12}{81} = \frac{4}{27}$ となります。

(2) 2人だけが勝つ確率

4人から勝つ2人を選ぶので $4C2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りあります。

勝つ手はグー、チョキ、パーの3通りあります。

残りの2人は負ける必要があるので、勝った手以外の2つの手から選びます。つまり、「勝った手がグーの時、負ける2人は全員チョキを出す」、「勝った手がグーの時、負ける2人は全員パーを出す」といった状態です。

したがって、負ける手の出し方は1通りしかありません。

全員の手の出し方は $3^4 = 81$ 通りです。

よって、2人だけが勝つ確率は、

$\frac{6 \times 3 \times 1}{81} = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}$ となります。

(3) あいこになる確率

あいこになるのは、全員の手が同じか、3種類全ての手が出ている場合です。

全員の手が同じ場合は、グー、チョキ、パーの3通りです。

3種類の手が出ている場合を考えます。

まず、4人の手が3種類になる組み合わせを考えます。

(i) 2人が同じ手、残りの2人が別々の手を出す場合：

　同じ手を出す2人の選び方は $4C2 = 6$ 通り。

　出す手の組み合わせは（グー、チョキ、パー）から2つの手を選んで出すので、3種類の手の選び方は3通り。

　選ばれなかった手を、2人が出すので1通り。残りの2人は違う手を出すので1通り。

　よって、この場合の数は $6 \times 3 \times 1 = 18$ 通り。

3種類の手が出ている確率は $\frac{36}{81} = \frac{4}{9}$

あいこになるのは、

(a) 全員の手が同じ場合

(b) 3種類の手が出ている場合 (4人のうち2人が同じ手を出し、残りの2人が別々の手を出す場合)

(c) 3人が同じ手を出し、残りの1人が違う手を出す場合。

この場合、4人のうちどの3人が同じ手を出すか $4C3 = 4$ 通り。

出す手は3通り。残りの1人は違う手を出すので2通り。$4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り

3人の手が同じ場合は、残り1人の手の出し方は2通りです。

あいこになる確率は、

$1 - \frac{4}{27} - \frac{2}{9} - \frac{4}{81} = 1 - \frac{12}{81} - \frac{18}{81} - \frac{4}{81} = 1 - \frac{34}{81} = \frac{47}{81}$

4人の手の出し方の総数は $3^4 = 81$通り。

(a) 全員同じ手: 3通り（グー、チョキ、パー）

(b) 3人が同じ手: $4C3 \times 3 \times 2 = 4 \times 3 \times 2 = 24$通り (例: グーグーグー、チョキ)

(c) 2人が同じ手で、残りの2人も同じ手 (ペアが2組): $4C2 \times 2 = 6 \times 2 = 12$通り (例:グーグー、チョキチョキ)

(d) 2人が同じ手で、残りの2人はバラバラの手: $4C2 \times 3 \times 2 = 6 \times 3 \times 2 = 36$通り (例: グーグー、チョキ、パー)

あいこ = (a) + (c) + (d)

$3 + 12 = 15, 1 - (1人勝ち + 2人勝ち) = 1 - \frac{4}{27} - \frac{2}{9} = 1 - \frac{4}{27} - \frac{6}{27} = 1 - \frac{10}{27} = \frac{17}{27}$

あいこになる確率は $\frac{47}{81}$

3. 最終的な答え

(1) 1人だけが勝つ確率： $\frac{4}{27}$

(2) 2人だけが勝つ確率： $\frac{2}{9}$

(3) あいこになる確率：$\frac{47}{81}$