A, A, A, B, B, C, D, Eの8個の文字を1列に並べる場合の数を以下の3つの条件で求めます。 (1) 全ての並べ方 (2) CとDが隣り合う並べ方 (3) CがDよりも左にあり、かつEがDよりも右にある並べ方

1. 問題の内容

A, A, A, B, B, C, D, Eの8個の文字を1列に並べる場合の数を以下の3つの条件で求めます。

(1) 全ての並べ方

(2) CとDが隣り合う並べ方

(3) CがDよりも左にあり、かつEがDよりも右にある並べ方

2. 解き方の手順

(1) 全ての並べ方

8個の文字の中にAが3個、Bが2個あるので、同じものを含む順列の公式を使います。

全体の並べ方は、

$\frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 3360$ 通り

(2) CとDが隣り合う並べ方

CとDをひとまとめにして、(CD) または (DC) と考えます。

(CD) または (DC) と A, A, A, B, B, E の7個の並び方を考えます。

(CD)または(DC)の2通りと、Aが3個、Bが2個あることから、

$\frac{7!}{3!2!} \times 2 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} \times 2 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} \times 2 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 420 \times 2 = 840$ 通り

(3) CがDよりも左にあり、かつEがDよりも右にある並べ方

C, D, E の順番は C, D, E または C, E, D または E, C, D など様々な可能性がありますが、C, D, E の位置関係が C...D...E の順になる並べ方を求めます。

まず、C, D, Eを全て同じ文字Xとして考えます。すると、A, A, A, B, B, X, X, X の8個の文字を並べることになります。

この並べ方は $\frac{8!}{3!2!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 2} = 8 \times 7 \times 5 \times 2 = 560$ 通り

次に、X, X, X の場所に左から順に C, D, E を入れると、C...D...E の順になる並べ方の場合の数が求まります。

3. 最終的な答え

(1) 3360通り

(2) 840通り

(3) 560通り