正規分布に従う変数 $X$ が与えられ、$X$ から標準正規分布に従う変数 $z$ を作る変換式とそのパラメータを求め、さらに $X=100$ となる確率と $X=105$ となる確率を計算し、選択肢の中から最も近い値を選ぶ問題です。ただし、$\sqrt{2} = 1.414$ とします。 $X$ の平均は 100、標準偏差は 5 とします。

1. 問題の内容

正規分布に従う変数 $X$ が与えられ、$X$ から標準正規分布に従う変数 $z$ を作る変換式とそのパラメータを求め、さらに $X=100$ となる確率と $X=105$ となる確率を計算し、選択肢の中から最も近い値を選ぶ問題です。ただし、$\sqrt{2} = 1.414$ とします。 $X$ の平均は 100、標準偏差は 5 とします。

2. 解き方の手順

まず、$z$ の式を完成させます。$X$ は平均 100, 標準偏差 5 の正規分布に従うので、

$z = \frac{X - 100}{5}$

となります。これにより、$z$ は標準正規分布に従います。

次に、$X = 100$ となる確率を求めます。連続確率変数の特定の値を取る確率は0ですが、問題文の指示に従い、$99.5 \le X \le 100.5$ となる確率を計算します。$X = 100$ に対応する $z$ の値を求めます。

$z = \frac{X - 100}{5}$ に $X = 99.5$ を代入すると $z = \frac{99.5 - 100}{5} = -0.1$

$z = \frac{X - 100}{5}$ に $X = 100.5$ を代入すると $z = \frac{100.5 - 100}{5} = 0.1$

したがって、$P(99.5 \le X \le 100.5) = P(-0.1 \le z \le 0.1)$ となります。 標準正規分布表が与えられていないので、問題文の選択肢から近いものを選びます。

$P(-0.1 \le z \le 0.1) = P(z \le 0.1) - P(z \le -0.1)$

標準正規分布は左右対称なので、$P(z \le -0.1) = 1 - P(z \le 0.1)$ です。

したがって、$P(-0.1 \le z \le 0.1) = P(z \le 0.1) - (1 - P(z \le 0.1)) = 2P(z \le 0.1) - 1$

$z=0$での確率は0.5、$z=0.1$ 付近では、0.5+0.04=0.58なので、その範囲を2倍するとおよそ0.08くらいの確率になるはずです。選択肢の中で、最も近いものは、0.033,0.036,0.043,0.046,0.053,0.056,0.063,0.066　です。正規分布表が与えられていないので正確な値は出せませんが、0.08に近いものを選ぶと、選択肢の中では 0.066が最も近いので、テは７です。

同様に、$X = 105$ となる確率を求めます。$104.5 \le X \le 105.5$ となる確率を計算します。

$z = \frac{X - 100}{5}$ に $X = 104.5$ を代入すると $z = \frac{104.5 - 100}{5} = \frac{4.5}{5} = 0.9$

$z = \frac{X - 100}{5}$ に $X = 105.5$ を代入すると $z = \frac{105.5 - 100}{5} = \frac{5.5}{5} = 1.1$

したがって、$P(104.5 \le X \le 105.5) = P(0.9 \le z \le 1.1)$ となります。

標準正規分布表があれば、$P(0.9 \le z \le 1.1) = P(z \le 1.1) - P(z \le 0.9)$ を計算できます。

正規分布表がないので近似で考えます、$P(0.9 \le z \le 1.1) \approx 0.8643 - 0.8159 \approx 0.0484$

選択肢の中で、最も近いものは、0.046 なので、トは３です。

3. 最終的な答え

ウエオ：100

チケ：5

ツ：1

テ：７

ト：３