赤球6個、白球3個が入った袋から球を1個取り出し、色を確認して袋に戻す試行を6回繰り返す。6回目に3度目の赤球が出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤球6個、白球3個が入った袋から球を1個取り出し、色を確認して袋に戻す試行を6回繰り返す。6回目に3度目の赤球が出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で赤球が出る確率は、 $\frac{6}{6+3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ である。

6回目に3度目の赤球が出るということは、5回目までに赤球が2回出ており、6回目に赤球が出ることである。

5回中2回赤球が出る確率は、反復試行の確率の公式より、

${}_5 C_2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$

6回目に赤球が出る確率は $\frac{2}{3}$ であるから、求める確率は、

$\frac{40}{243} \times \frac{2}{3} = \frac{80}{729}$

3. 最終的な答え

$\frac{80}{729}$