袋の中に白球$n$個、赤球$n$個、青球$n$個、黒球1個の計$3n+1$個の球が入っている。この袋から球を1つずつ順に取り出していく。ただし、取り出した球は袋に戻さない。以下の確率を求めよ。 (1) 3回目に取り出した球が黒球である確率 (2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていない確率 (3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつは取り出されている確率

1. 問題の内容

袋の中に白球$n$個、赤球$n$個、青球$n$個、黒球1個の計$3n+1$個の球が入っている。この袋から球を1つずつ順に取り出していく。ただし、取り出した球は袋に戻さない。以下の確率を求めよ。

(1) 3回目に取り出した球が黒球である確率

(2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていない確率

(3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつは取り出されている確率

2. 解き方の手順

(1) 3回目に取り出した球が黒球である確率

全事象の数は、取り出す順番を考慮すると、$(3n+1)!$通り。3回目に取り出す球が黒球である確率は、黒球が3回目に取り出される確率である。

1回目、2回目の球の選び方は $(3n)(3n-1)$ 通り。3回目に黒球を選ぶのは1通り。残りの $(3n-1)$ 個の球の選び方は $(3n-1)!$通り。

よって、確率は、

$\frac{(3n)(3n-1)(3n-1)!}{(3n+1)!} = \frac{(3n)(3n-1)}{(3n+1)(3n)} = \frac{3n-1}{3n+1}$。

しかし、これは正しくない。

3回目に取り出した球が黒球である確率は、黒球がどの順番で取り出される確率も等しいので、黒球が最初に選ばれる確率、2番目に選ばれる確率、3番目に選ばれる確率、...、(3n+1)番目に選ばれる確率はすべて等しい。

したがって、3回目に取り出した球が黒球である確率は、

$\frac{1}{3n+1}$。

(2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていない確率

黒球を$k$回目に引くとする。$k=1, 2, ..., 2n+1$。

黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていないということは、$k-1$回目までに取り出されるのは白球$n$個からいくつか選ぶか、黒球のみということ。

黒球が$k$回目に選ばれる確率は、$(k-1)$回までに白球だけが選ばれ、$k$回目に黒球が選ばれる確率に等しい。

白球と黒球の合計は$n+1$個。このうち、黒球が最後に選ばれる確率を考える。

これは、全体で$(n+1)!$通りの選び方があるうち、$k$番目に黒球が選ばれる確率なので、$\frac{1}{n+1}$。

(3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつは取り出されている確率

この事象の余事象は、黒球を取り出すまでに、

(i) 白球が全く取り出されていない

(ii) 赤球が全く取り出されていない

(iii) 青球が全く取り出されていない

のいずれかである。

(i) 白球が全く取り出されていない場合、袋の中身は赤球$n$個、青球$n$個、黒球1個なので、取り出す順番は$(2n+1)!$通り。黒球が最後に取り出される確率は$\frac{1}{2n+1}$.

(ii) 赤球が全く取り出されていない場合、袋の中身は白球$n$個、青球$n$個、黒球1個なので、取り出す順番は$(2n+1)!$通り。黒球が最後に取り出される確率は$\frac{1}{2n+1}$.

(iii) 青球が全く取り出されていない場合、袋の中身は白球$n$個、赤球$n$個、黒球1個なので、取り出す順番は$(2n+1)!$通り。黒球が最後に取り出される確率は$\frac{1}{2n+1}$.

(i)と(ii)の両方が起こる場合、青球のみが取り出され、確率は$\frac{1}{n+1}$

(ii)と(iii)の両方が起こる場合、白球のみが取り出され、確率は$\frac{1}{n+1}$

(i)と(iii)の両方が起こる場合、赤球のみが取り出され、確率は$\frac{1}{n+1}$

(i),(ii),(iii)全てが起こる場合はありえない。

よって、余事象の確率は、

$\frac{3}{2n+1} - \frac{3}{n+1} = \frac{3(n+1)-3(2n+1)}{(2n+1)(n+1)} = \frac{3n+3-6n-3}{(2n+1)(n+1)} = \frac{-3n}{(2n+1)(n+1)}$

求める確率は、$1 - (\frac{3}{2n+1} - \frac{3}{n+1})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3n+1}$

(2) $\frac{1}{n+1}$

(3) $1 - (\frac{3}{2n+1} - \frac{3}{n+1}) = 1 + \frac{3n}{(2n+1)(n+1)} = \frac{(2n+1)(n+1) + 3n}{(2n+1)(n+1)} = \frac{2n^2 + 3n + 1 + 3n}{(2n+1)(n+1)} = \frac{2n^2+6n+1}{(2n+1)(n+1)} = \frac{2n^2+6n+1}{2n^2+3n+1}$