与えられた同時確率分布に従う確率変数 $X$ と $Y$ について、以下の問題を解きます。 (a) 周辺確率分布 $P_X$ と $P_Y$ を求めます。 (b) 期待値 $E[X]$、$E[Y]$、$E[X+Y]$ を求めます。 (c) $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表を作成します。

1. 問題の内容

与えられた同時確率分布に従う確率変数 $X$ と $Y$ について、以下の問題を解きます。

(a) 周辺確率分布 $P_X$ と $P_Y$ を求めます。

(b) 期待値 $E[X]$、$E[Y]$、$E[X+Y]$ を求めます。

(c) $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表を作成します。

2. 解き方の手順

(a) 周辺確率分布の計算

$P_X(x)$ は、$Y$ のすべての値について同時確率を加算することで求められます。同様に、$P_Y(y)$ は、$X$ のすべての値について同時確率を加算することで求められます。

$P_X(-1) = \frac{3}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{9}{32}$

$P_X(0) = \frac{5}{32} + \frac{8}{32} + \frac{3}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$P_X(1) = \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{7}{32}$

$P_Y(-1) = \frac{3}{32} + \frac{5}{32} + \frac{3}{32} = \frac{11}{32}$

$P_Y(0) = \frac{5}{32} + \frac{8}{32} + \frac{3}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$P_Y(1) = \frac{1}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$

(b) 期待値の計算

期待値 $E[X]$ は、$X$ の各値にその確率を掛けて加算することで求められます。同様に、$E[Y]$ を計算します。$E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ を利用して $E[X+Y]$ を求めます。

$E[X] = (-1) \cdot \frac{9}{32} + (0) \cdot \frac{16}{32} + (1) \cdot \frac{7}{32} = -\frac{9}{32} + 0 + \frac{7}{32} = -\frac{2}{32} = -\frac{1}{16}$

$E[Y] = (-1) \cdot \frac{11}{32} + (0) \cdot \frac{16}{32} + (1) \cdot \frac{5}{32} = -\frac{11}{32} + 0 + \frac{5}{32} = -\frac{6}{32} = -\frac{3}{16}$

$E[X+Y] = E[X] + E[Y] = -\frac{1}{16} - \frac{3}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$

(c) $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表の作成

まず、$X^2$ と $Y^2$ の取りうる値を考えます。$X$ と $Y$ の値は $-1$, $0$, $1$ なので、$X^2$ と $Y^2$ の値は $0$ と $1$ になります。

次に、各組み合わせの確率を求めます。

$P(X^2=0, Y^2=0) = P(X=0, Y=0) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(X^2=0, Y^2=1) = P(X=0, Y=-1) + P(X=0, Y=1) = \frac{5}{32} + \frac{3}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(X^2=1, Y^2=0) = P(X=-1, Y=0) + P(X=1, Y=0) = \frac{5}{32} + \frac{3}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(X^2=1, Y^2=1) = P(X=-1, Y=-1) + P(X=-1, Y=1) + P(X=1, Y=-1) + P(X=1, Y=1) = \frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(a) 周辺確率分布

$P_X(-1) = \frac{9}{32}$, $P_X(0) = \frac{1}{2}$, $P_X(1) = \frac{7}{32}$

$P_Y(-1) = \frac{11}{32}$, $P_Y(0) = \frac{1}{2}$, $P_Y(1) = \frac{5}{32}$

(b) 期待値

$E[X] = -\frac{1}{16}$

$E[Y] = -\frac{3}{16}$

$E[X+Y] = -\frac{1}{4}$

(c) $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表

| $X^2 \backslash Y^2$ | 0 | 1 |

| --------------------- | -------- | -------- |

| 0 | 1/4 | 1/4 |

| 1 | 1/4 | 1/4 |