A, B の2チームが試合をする。1回の試合で、Aが勝つ確率は $\frac{2}{3}$、Bが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ であり、引き分けはないとする。先に2勝した方が優勝となるとき、Bが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B の2チームが試合をする。1回の試合で、Aが勝つ確率は $\frac{2}{3}$、Bが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ であり、引き分けはないとする。先に2勝した方が優勝となるとき、Bが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

Bが優勝するのは、以下のいずれかの場合です。

* Bが2連勝する場合

* Aが1勝し、その後にBが2連勝する場合

* Bが1勝し、Aが1勝し、その後にBが勝つ場合

それぞれの確率を計算します。

* Bが2連勝する場合の確率：

$(\frac{1}{3}) \times (\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}$

* Aが1勝し、その後にBが2連勝する場合の確率：

$(\frac{2}{3}) \times (\frac{1}{3}) \times (\frac{1}{3}) = \frac{2}{27}$

* Bが1勝し、Aが1勝し、その後にBが勝つ場合：

$(\frac{1}{3}) \times (\frac{2}{3}) \times (\frac{1}{3}) = \frac{2}{27}$

上記の確率を合計すると、Bが優勝する確率が得られます。

$\frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{3}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{7}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{27}$