大、中、小の3個のサイコロを投げ、それぞれの出る目の数を$a, b, c$とする。このとき、$\frac{a}{bc}$が整数となる場合の数を求める。

1. 問題の内容

大、中、小の3個のサイコロを投げ、それぞれの出る目の数を$a, b, c$とする。このとき、$\frac{a}{bc}$が整数となる場合の数を求める。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{bc}$ が整数となるのは、$a$ が $bc$ の倍数であるとき。

$a, b, c$ はそれぞれ1から6までの整数である。

したがって、$bc \le a \le 6$ が成り立つ必要がある。

$bc$ の最小値は $1 \times 1 = 1$ 、最大値は $6 \times 6 = 36$ である。しかし、$a$ は最大でも6なので、$bc$ が7以上の値を取ることはない。

$bc$ の値によって場合分けして考える。

(1) $bc = 1$ のとき、$b=1$ かつ $c=1$。$a$ は 1 から 6 のいずれの値でも良い。したがって、6通り。

(2) $bc = 2$ のとき、$b=1, c=2$ または $b=2, c=1$。$a$ は 2, 3, 4, 5, 6 のいずれかの値を取る必要があるため、5通り x 2 = 10通り。

(3) $bc = 3$ のとき、$b=1, c=3$ または $b=3, c=1$。$a$ は 3, 4, 5, 6 のいずれかの値を取る必要があるため、4通り x 2 = 8通り。

(4) $bc = 4$ のとき、$b=1, c=4$ または $b=4, c=1$ または $b=2, c=2$。$a$ は 4, 5, 6 のいずれかの値を取る必要があるため、3通り x 3 = 9通り。

(5) $bc = 5$ のとき、$b=1, c=5$ または $b=5, c=1$。$a$ は 5, 6 のいずれかの値を取る必要があるため、2通り x 2 = 4通り。

(6) $bc = 6$ のとき、$b=1, c=6$ または $b=6, c=1$ または $b=2, c=3$ または $b=3, c=2$。$a$ は 6 のみなので、1通り x 4 = 4通り。

したがって、合計の場合の数は、

$6 + 10 + 8 + 9 + 4 + 4 = 41$ 通り

3. 最終的な答え

41通り