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$\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ の値を求める問題です。

解析学逆三角関数tan値域
2025/5/30

1. 問題の内容

tan⁡−1(−13)\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) は逆正接関数であり、tan⁡(θ)=x\tan(\theta) = x となる θ\theta を求める関数です。ただし、tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) の値域は −π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} です。
tan⁡(θ)=−13\tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}} となる θ\theta を探します。tan⁡(π6)=13\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} であることは知られているはずです。tan⁡\tan は奇関数なので、tan⁡(−θ)=−tan⁡(θ)\tan(-\theta) = -\tan(\theta) となります。
したがって、tan⁡(−π6)=−13\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} となります。また、−π2<−π6<π2 -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} なので、−π6-\frac{\pi}{6} は tan⁡−1(−13)\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) の値域に含まれます。

3. 最終的な答え

tan⁡−1(−13)=−π6\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}

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