## 問題の解答

## 問題の解答

### 問7

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1. 問題の内容**

逆三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の値を求めます。

(1) $\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\cos^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}$

(4) $\sin^{-1} (-1)$

(5) $\tan^{-1} 1$

(6) $\lim_{x \to \infty} \tan^{-1} x$

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2. 解き方の手順**

(1) $\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ : $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を求めます。 $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

(2) $\cos^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$ : $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求めます。 $0 \le \theta \le \pi$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

(3) $\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}$ : $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ を求めます。 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

(4) $\sin^{-1} (-1)$ : $\sin \theta = -1$ となる $\theta$ を求めます。 $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ です。

(5) $\tan^{-1} 1$ : $\tan \theta = 1$ となる $\theta$ を求めます。 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

(6) $\lim_{x \to \infty} \tan^{-1} x$ : $x$ が無限大に近づくときの $\tan^{-1} x$ の極限を求めます。 $\tan^{-1} x$ は $x$ が大きくなるにつれて $\frac{\pi}{2}$ に近づくので、極限は $\frac{\pi}{2}$ です。

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{\pi}{6}$

(3) $\frac{\pi}{6}$

(4) $-\frac{\pi}{2}$

(5) $\frac{\pi}{4}$

(6) $\frac{\pi}{2}$

### 問8 (2)

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1. 問題の内容**

$x$に関する方程式 $\sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan^{-1} x$ を満たす $x$ を求める問題です。

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2. 解き方の手順**

まず、$\sin^{-1} \frac{3}{5} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{3}{5}$ です。

このとき、直角三角形を考えると、高さが3、斜辺が5なので、底辺は $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$ となります。

したがって、$\tan \theta = \frac{3}{4}$ です。

$\tan^{-1} x = \theta$ であり、$\tan \theta = \frac{3}{4}$ なので、$x = \frac{3}{4}$ となります。

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3. 最終的な答え**

$x = \frac{3}{4}$

### 問9

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1. 問題の内容**

$\tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ を示す問題です。

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2. 解き方の手順**

$\alpha = \tan^{-1} \frac{1}{2}$, $\beta = \tan^{-1} \frac{1}{3}$ とおくと、$\tan \alpha = \frac{1}{2}$, $\tan \beta = \frac{1}{3}$ となります。

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ を使って計算すると、

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

したがって、$\alpha + \beta = \tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$ となります。

よって、$\tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ が示されました。

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3. 最終的な答え**

$\tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ (証明終わり)