与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は次のように定義されます。 $S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + 7 \cdot 3^4 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^n$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は次のように定義されます。

$S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + 7 \cdot 3^4 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^n$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + 7 \cdot 3^4 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^n$

次に、$S$ に 3 を掛けた $3S$ を書き下します。

$3S = 1 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^5 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

$S$ から $3S$ を引くと、次のようになります。

$S - 3S = (1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + 7 \cdot 3^4 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^n) - (1 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^5 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n+1})$

$-2S = 1 \cdot 3 + (3-1) \cdot 3^2 + (5-3) \cdot 3^3 + (7-5) \cdot 3^4 + \cdots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 3^n - (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

$-2S = 3 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^4 + \cdots + 2 \cdot 3^n - (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

$-2S = 3 + 2(3^2 + 3^3 + 3^4 + \cdots + 3^n) - (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

ここで、$3^2 + 3^3 + 3^4 + \cdots + 3^n$ は等比数列の和であるため、次の公式を利用します。

$\sum_{k=2}^{n} 3^k = \frac{3^2(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{9(3^{n-1}-1)}{2} = \frac{3^{n+1} - 9}{2}$

これを $-2S$ の式に代入します。

$-2S = 3 + 2(\frac{3^{n+1} - 9}{2}) - (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

$-2S = 3 + (3^{n+1} - 9) - (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

$-2S = 3^{n+1} - 6 - (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

$-2S = 3^{n+1}(1 - (2n-1)) - 6$

$-2S = 3^{n+1}(2-2n) - 6$

$-2S = 2(1-n)3^{n+1} - 6$

$S = (n-1)3^{n+1} + 3$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^{n+1} + 3$