平面上の3点O, A, Bについて、線分ABを5:7に内分する点をC、7:4に外分する点をDとする。$\vec{OC} = s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$と表すとき、$s$の値を求め、$\vec{CD} = t\vec{AB}$と表すとき、$t$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

平面上の3点O, A, Bについて、線分ABを5:7に内分する点をC、7:4に外分する点をDとする。$\vec{OC} = s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$と表すとき、$s$の値を求め、$\vec{CD} = t\vec{AB}$と表すとき、$t$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OC}$について：

Cは線分ABを5:7に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{7\vec{OA} + 5\vec{OB}}{5+7} = \frac{7}{12}\vec{OA} + \frac{5}{12}\vec{OB}$

$\vec{OC} = s\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$と比較すると、

$s = \frac{7}{12}$

$1-s = \frac{5}{12}$

(2) $\vec{OD}$について：

Dは線分ABを7:4に外分するので、

$\vec{OD} = \frac{-4\vec{OA} + 7\vec{OB}}{7-4} = \frac{-4}{3}\vec{OA} + \frac{7}{3}\vec{OB}$

(3) $\vec{CD}$について：

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \left(\frac{-4}{3}\vec{OA} + \frac{7}{3}\vec{OB}\right) - \left(\frac{7}{12}\vec{OA} + \frac{5}{12}\vec{OB}\right)$

$\vec{CD} = \left(\frac{-16}{12} - \frac{7}{12}\right)\vec{OA} + \left(\frac{28}{12} - \frac{5}{12}\right)\vec{OB}$

$\vec{CD} = \frac{-23}{12}\vec{OA} + \frac{23}{12}\vec{OB}$

$\vec{CD} = \frac{23}{12}(\vec{OB} - \vec{OA})$

$\vec{CD} = \frac{23}{12}\vec{AB}$

$\vec{CD} = t\vec{AB}$と比較すると、

$t = \frac{23}{12}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{7}{12}$

$t = \frac{23}{12}$