与えられた問題は、数列 $(1 - \frac{1}{n^2})^n$ の $n$ が無限大に近づくときの極限値を求める問題です。つまり、 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^n$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、数列 $(1 - \frac{1}{n^2})^n$ の $n$ が無限大に近づくときの極限値を求める問題です。つまり、

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^n$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、この極限を直接計算するのは難しいので、対数をとって考えます。

$y = (1 - \frac{1}{n^2})^n$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (1 - \frac{1}{n^2})^n = n \ln(1 - \frac{1}{n^2})$

となります。

ここで、$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、$\ln(1+x) \approx x$ ($x \approx 0$) という近似を利用できます。

つまり、

$\ln(1 - \frac{1}{n^2}) \approx - \frac{1}{n^2}$

と近似できます。

したがって、

$\ln y \approx n (-\frac{1}{n^2}) = - \frac{1}{n}$

よって、

$\lim_{n \to \infty} \ln y = \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{n} = 0$

$\ln y \to 0$ なので、$y \to e^0 = 1$ となります。

厳密に解くには、$\ln(1+x)$ のテイラー展開を用います。$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ ですから、

$\ln y = n \ln(1 - \frac{1}{n^2}) = n (-\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \dots) = -\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^3} - \frac{1}{3n^5} - \dots$

よって、

$\lim_{n \to \infty} \ln y = \lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^3} - \frac{1}{3n^5} - \dots) = 0$

なので、

$\lim_{n \to \infty} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

1